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Dualizing sheaves, differentials and residues on algebraic varieties. (English) Zbl 0562.14003
Astérisque 117. Publié avec le concours du Centre National de la Recherche Scientifique. Paris: Société Mathématique de France. 138 p. FF 75.00; $ 9.00 (1984).
Die Dualitätstheorie innerhalb der algebraischen Geometrie handelt von den Verallgemeinerungen des klassischen Residuensatzes und des Serre’schen Dualitätssatzes für algebraische Kurven auf den höherdimensionalen (insbesondere singulären) Fall und von den Anwendungen dieser Verallgemeinerungen. In den sechziger Jahren wurde die Dualitätstheorie in einem sehr allgemeinen Rahmen (gekennzeichnet durch Stichworte wie ”Schemata”, ”derivierte Kategorien”, ”dualisierende Komplexe”) von Grothendieck entwickelt und von Hartshorne, Deligne, Verdier, Kleiman u.a. weitergeführt. Die Standardreferenz für diesen Bereich der algebraischen Geometrie ist R. Hartshorne’s Buch ”Residues and Duality”, Lect. Notes. Math. 20 (1966; Zbl 0212.261). In der Folge beschäftigte sich eine Vielzahl von Publikationen mit den konkreteren Deutungen der Theorie und deren Anwendung in speziellen Situationen. Insbesondere war man bestrebt, die Grothendiecksche Theorie (analog zum klassischen Residuen- und Dualitätssatz) als eine Theorie von Differentialformen und ”konkreten” Residuen zu verstehen.
Im vorliegenden Buch stellt der Autor die Dualitätstheorie unter diesem Gesichtspunkt im Spezialfall integrer Varietäten über vollkommenen Grundkörpern von Grund auf neu dar. Dabei wird die Kenntnis von ”Residues and duality” (loc. cit.) nicht vorausgesetzt, vielmehr kommt der Leser im wesentlichen mit Kap. II und III von R. Hartshorne’s Buch ”Algebraic geometry” (1977; Zbl 0506.14002) aus. Die Existenz dualisierender Garben wird allerdings der Dualitätstheorie von S. L. Kleiman [Proc. Am. Math. Soc. 18, 940-944 (1967; Zbl 0165.240)] entnommen. Der vom Autor bevorzugte Standpunkt ist der der Theorie der algebraischen Varietäten und der ”klassischen” homologischen Algebra. Gute Vertrautheit mit der globalen und lokalen Kohomologietheorie auf Varietäten ist für das Verständnis des Textes unerläßlich.
Um einen Eindruck vom Inhalt des Buches zu geben, sollen im folgenden einige der Hauptresultate etwas näher beschrieben werden. Es bezeichne dabei immer V eine d-dimensionale integre Varietät über einem vollkommenen Körper k und \({\tilde \omega}_ V\) die Garbe der regulären Differentialformen (im Sinne des Referenten) auf V. Für einen abgeschlossenen Punkt \(v\in V\) und eine abelsche Garbe \({\mathcal F}\) auf V sei \(H_ v^{\bullet}({\mathcal F})\) die lokale Kohomologie von \({\mathcal F}\) mit Träger in v und \(H^{\bullet}(V,{\mathcal F})\) die globale Kohomologie. Ein Grundanliegen des Textes ist die Definition einer kanonischen Residuenabbildung \(res_ v: H^ d_ v({\tilde \omega}_ V)\to k,\) welche das klassische Residuum verallgemeinert. Diese wird zunächst mit Hilfe expliziter Konstruktionen im Fall \(V={\mathbb{P}}^ d_ k\) gewonnen (§ 7), danach (allerdings unter Benützung globaler Resultate) im allgemeinen Fall. Es ergibt sich dann der lokale Dualitätssatz in folgender Form: Sei R die Komplettierung von \({\mathcal O}_ v\), m das maximale Ideal von R (somit \(H^ d_ v({\tilde \omega}_ V)=H^ d_ m({\tilde \omega}_ V,{}_ v^{\wedge}))\). Dann repräsentiert das Paar \(({\tilde \omega}_ V,{}_ v^{\wedge},res_ v)\) den Funktor \(Hom_ k(H^ d_ m(G),k)\) für endliche R-Moduln G. Als höherdimensionales Analogon des Residuensatzes ist das folgende Resultat zu verstehen: Sei \(d_ v: H^ d_ v({\tilde \omega}_ V)\to H^ d(V,{\tilde \omega}_ V)\) die kanonische Abbildung der lokalen in die globale Kohomologie. Für jede eigentliche k-Varietät V gibt es genau eine k-lineare Abbildung \({\tilde \theta}_ V: H^ d(V,{\tilde \omega}_ V)\to k\), so daß \(res_ v={\tilde \theta}_ V\circ d_ v\) für alle abgeschlossenen \(v\in V\). Der globale Dualitätssatz besagt, daß für jede eigentliche k-Varietät V das Paar (\({\tilde \omega}{}_ V,{\tilde \theta}_ V)\) den Funktor \(Hom_ k(H^ d(V,{\mathcal G}),k)\) für kohärente \({\mathcal O}_ V\)-Moduln \({\mathcal G}\) repräsentiert.
Der Beweis dieser Sätze, ihrer Varianten und Nachbarresultate nimmt den größten Teil der §§ 0-9 und des § 11 des Textes ein. Sie waren bisher in der angegebenen Form nur für projektive Varietäten (unter weiteren einschränkenden Annahmen) publiziert. Der Übergang zu eigentlichen Varietäten ist mit großen technischen Schwierigkeiten verbunden (Verkleben lokaler zu globalen Daten). Es liegt in der Natur der Sache, daß die Beweise kompliziert sind. Das Buch enthält ferner: (a) ”Relative” Versionen der obigen Sätze für eigentliche Morphismen \(V\to W\) von k-Varietäten (§ 5, § 10); (b) Spezialisierungen des Residuensatzes zu Aussagen über das Verschwinden von Residuensummen (§ 12); (c) Im Fall, daß V eine d-dimensionale abgeschlossene Untervarietät einer n-dimensionalen Varietät X und \(V\not\subset Sing(X)\) ist, die Konstruktion eines kanonischen Homomorphismus \(Ext_{{\mathcal O}_ x}^{n-d}({\mathcal O}_ V,{\tilde \omega}_ X)\to {\tilde \omega}_ V\), der in allen Cohen-Macaulay-Punkten von X ein Isomorphismus ist.
Mit diesem Buch hat der Verf. einen Zugang zur Dualitätstheorie eröffnet, der wesentlich geringere Vorkenntnisse als frühere Texte erfordert und daher einem größeren Leserkreis zugänglich ist. Es hebt die konkrete Natur der Dinge, mit denen sich die Theorie beschäftigt, besonders hervor, führt aber dennoch hin zu recht allgemeinen Resultaten.
Reviewer: E.Kunz

MSC:
14F10 Differentials and other special sheaves; D-modules; Bernstein-Sato ideals and polynomials
14F05 Sheaves, derived categories of sheaves, etc. (MSC2010)
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry
32-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to several complex variables and analytic spaces
32A27 Residues for several complex variables
32C37 Duality theorems for analytic spaces
13B10 Morphisms of commutative rings