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Ein Analogon zur Fundamentalgruppe einer Riemann’schen Fläche im Zahlkörperfall. (German) Zbl 0563.12008

Sei K ein Zahlkörper, \(K_{\infty}\) der Körper, der aus K durch Adjunktion aller Einheitswurzeln von p-Potenzordnung entsteht und L die maximale unverzweigte p-Erweiterung von \(K_{\infty}\). Die Galoisgruppe \({\mathcal G}\) von \(L| K_{\infty}\) kann man als Analogon des p-Anteils der Fundamentalgruppe \({\mathcal F}\) einer Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik \(\ell \neq p\) ansehen, man könnte also erwarten, daß die Struktur von \({\mathcal G}\) der wohlbekannten Struktur von \({\mathcal F}\) entspricht.
In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß das nicht der Fall ist, daß es aber unter geeigneten Voraussetzungen einen natürlichen Unterkörper \(\tilde L\) von L gibt, dessen Galoisgruppe \(\tilde {\mathcal G}\) über \(K_{\infty}\) dieselbe Struktur wie \({\mathcal F}\) besitzt: Falls K ein CM-Körper ist, der durch Adjunktion der p-ten Einheitswurzeln aus seinem maximalen totalreellen Teilkörper entsteht, und falls die Iwasawa \(\mu\)-Invariante von K gleich 0 ist, wird \(\tilde L\) als maximale, außerhalb von p unverzweigte und bei p ”positiv zerlegte” p-Erweiterung von \(K_{\infty}\) (Def. s. S. 558) genommen. Dann ist \({\mathcal G}(\tilde L| K_{\infty})\) entweder trivial oder eine Demushkin-Gruppe vom Rang \(2\cdot \lambda^-_ 2\), wobei \(\lambda^- _ 2\) der Minus-Anteil der Iwasawaschen \(\lambda\)-Invariante von K ist.
Der Beweis verwendet wesentlich Galoiskohomologie, insbes. den Dualitätssatz von Tate-Poitou; die Analogie zum Funktionenkörperfall wird in der Arbeit noch besonders dadurch deutlich, daß die entsprechenden Aussagen im Funktionenkörperfall mit ganz analogen kohomologischen Methoden (Dualitätssatz von Poincaré) rein algebraisch hergeleitet werden.
Schließlich wird im zweiten Teil der Arbeit, wieder in Analogie der bekannten Ergebnisse im Funktionenkörperfall, die Galoisgruppe der maximalen, außerhalb einer Stellenmenge S unverzweigten p-Erweiterung von K sowohl über \(\tilde L \)(freies pro-p-Produkt von Trägheitsgruppen) bzw. über \(K_{\infty}\) (freies pro-p-Produkt, angegeben durch Erzeugende mit einer Relation) bestimmt.
Reviewer: G.Frey

MSC:

11R32 Galois theory
11R34 Galois cohomology
11S15 Ramification and extension theory
11R42 Zeta functions and \(L\)-functions of number fields
14H30 Coverings of curves, fundamental group
20F05 Generators, relations, and presentations of groups
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Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Coates, J.:p-adicL-functions and Iwasawa’s Theory. In: Algebraic number fields:L-functions and galois properties. Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham 1975, pp. 269-353. London-New York-San Francisco: Academic Press 1977
[2] Federer, L.J., Gross, B.H.: Regulators and Iwasawa modules. Invent. math.62, 443-457 (1981) · Zbl 0468.12005
[3] Grothendieck, A.: SGA 1, Revêtements étale et groupe fondamental. Lecture Notes in Mathematics, vol.224. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1971 · Zbl 0234.14002
[4] Haberland, K.: Galois cohomology of algebraic number fields. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1978 · Zbl 0418.12004
[5] Hartshorne, R.: Algebraic Geometry. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1977 · Zbl 0367.14001
[6] Hochschild, G., Serre, J-P.: Cohomology of group extensions. Trans. Amer. Math. Soc.74, 110-134 (1953) · Zbl 0050.02104
[7] Iwasawa, K.: On ? l of algebraic number fields. Ann. of Math.98, 246-326 (1973) · Zbl 0285.12008
[8] Jannsen, U.: Über Galoisgruppen lokaler Körper. Invent. math.70, 53-69 (1982) · Zbl 0534.12009
[9] Kida, Y.:l-extensions of CM-fields and cyclotomic invariants. J. Number Theory12, 519-528 (1980) · Zbl 0455.12007
[10] Koch, H.: Galoissche Theorie derp-Erweiterungen. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1970
[11] Lang, S.: Cyclotomic fields. Graduate texts in math. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1978
[12] Milne, J.S.: Etale Cohomology. Princeton University Press 1980 · Zbl 0433.14012
[13] Neukirch, J.: Freie Produkte pro-endlicher Gruppen und ihre Kohomologie. Arch. d. Math.12, 227-357 (1971) · Zbl 0254.20023
[14] Neukirch, J.: Einbettungsprobleme mit lokaler Vorgabe und freie Produkte lokaler Galoisgruppen. J. Reine u. Angew. Math.259, 1-47 (1973) · Zbl 0263.12006
[15] Neumann, O.: Onp-closed number fields and an analogue of Riemann’s existence theorem. Proc. Durham symp. number theory, pp. 625-647. New York-London: Academic press 1977
[16] Serre, J-P.: Cohomologie galoisienne. Lecture Notes in Mathematics, vol.5. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1964 · Zbl 0143.05901
[17] Takahashi, T.: Galois cohomology in unramified extensions of algebraic function fields. Tôhoku Math. J.24, 33-39 (1972) · Zbl 0258.12006
[18] Wingberg, K.: Duality theorems for ?-extensions of algebraic number fields. Erscheint in Comp. Math. · Zbl 0608.12012
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