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Action d’une forme réelle d’un groupe de Lie complexe sur les fonctions plurisousharmoniques. (French) Zbl 0563.32013

Soit \(G_{{\mathbb C}}\) un groupe de Lie complexe et \(G_{{\mathbb R}}\) une forme réelle fermée de \(G_{{\mathbb C}}\). Un couple \((G_{{\mathbb C}},G_{{\mathbb R}})\) est dit pseudo-convexe, s’il existe sur \(G_{{\mathbb C}}\) une fonction régulière, strictement p.s.h., invariante par l’action de \(G_{{\mathbb R}}\) et d’exhaustion sur \(G_{{\mathbb C}}/G_{{\mathbb R}}\). On dit que \(G_{{\mathbb R}}\) est à spectre imaginaire pur, si pour tout \(X\) de \(\text{Lie}(G_{{\mathbb R}})\), les valeurs propres de \(\text{ad}\;X\) sont imaginaires pures. Pour \(G_{{\mathbb C}}\) à radical simplement connexe, cette dernière propriété équivaut à la pseudo-convexité de \((G_{{\mathbb C}},G_{{\mathbb R}})\). Pour \((G_{{\mathbb C}},G_{{\mathbb R}})\) pseudo-convexe et sous une hypothèse de sous-groupe discret, il existe sur tout ouvert invariant \(\Omega\) une fonction invariante strictement p.s.h. et d’exhaustion sur \(\Omega /G_{{\mathbb R}}\). Sous les mêmes hypothèses, on a le théorème suivant:
Soit \(\Omega\) un ouvert de Stein \(G_{{\mathbb R}}\)-invariant de \(X\times G_{{\mathbb C}}\) et à fibre connexe au-dessus de \(X\). Sa projection sur \(X\) est de Stein, lorsque \(X\) est de Stein.
Au chapitre VI, on montre l’inexistence d’une métrique kählérienne invariante sur \(G_{{\mathbb C}}\) lorsque \(G_{{\mathbb R}}\) n’est pas à spectre imaginaire pur. Ce résultat implique l’inexistence d’une métrique kählérienne pour certaines variétés résolubles complexes non compactes.
Reviewer: Jean-Jacques Loeb

MSC:

32M05 Complex Lie groups, group actions on complex spaces
32E10 Stein spaces
32U05 Plurisubharmonic functions and generalizations
22E10 General properties and structure of complex Lie groups
32F99 Geometric convexity in several complex variables
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Full Text: DOI Numdam EuDML

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