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Zero estimates on group varieties. (English) Zbl 0564.10040
Proc. Int. Congr. Math., Warszawa 1983, Vol. 1, 493-502 (1984).
Dans ce texte, l’A. présente les lemmes de zéros obtenus sur les groupes algébriques commutatifs par lui-même et par G. Wüstholz, ainsi que plusieurs applications importantes à la théorie des nombres transcendants.
Il considère d’abord le cas sans multiplicités et mentionne comme applications: Les minorations de hauteurs de Néron-Tate de points algébriques d’une variété abelienne définie sur \(\overline{\mathbb{Q}}\), la solution de deux problèmes de A. Weil et J. P. Serre par M. Waldschmidt, et l’indépendance algébrique de nombres de la forme \(\exp (x_i\cdot y_i)\) ou \(\wp(x_iy_i)\) lorsque \(\wp\) est une fonction elliptique de Weierstrass.
Ensuite l’A. aborde le cas avec multiplicités dans une seule direction, qui correspond au texte maintenant paru (vor le rapport ci-dessous). Les applications mentionnées concernent essentiellement les analogues elliptiques des résultats classiques sur la fonction exponentielle (y compris le théorème de Lindemann-Weierstrass).
Enfin l’A. introduit le lemme de zéros avec multiplicités multidirectionnelles démontré par Wüstholz et en décrit plusieurs applications à la théorie de Baker généralisée aux groupes algébriques commutatifs.
[For the entire collection see Zbl 0553.00001.]

MSC:
11J81 Transcendence (general theory)
11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
30C15 Zeros of polynomials, rational functions, and other analytic functions of one complex variable (e.g., zeros of functions with bounded Dirichlet integral)
14L10 Group varieties