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Zero estimates on group varieties. II. (English) Zbl 0564.10041
Soit G un groupe algébrique commutatif plongé dans un produit d’espaces projectifs et défini sur un corps de caractéristique zéro. Dans cet article les AA. démontrent un intéressant lemme de zéros donnant des conditions sur les dégrés d’un polynôme multihomogène s’annulant à un ordre T donné le long d’un sous- groupe à un paramètre de G en tout point d’un ensemble fini X de G également donné.
Les AA. généralisent ainsi leur résultat antérieur [ibid. 64, 489-516 (1981; Zbl 0467.10025)]. Cette généralisation prend essentiellement trois aspects, d’une part la prise en compte de dérivations le long d’un sous-groupe à un paramètre est très importante pour certaines applications à la théorie des nombres transcendants. De ce point de vue, il est regrettable que les conditions données aient pour effet de restreindre dans beaucoup de cas intéressants l’ordre de dérivation T à être de la même taille que les degrés du polynôme multihomogène considéré.
Un autre aspect important est le décompte des points de l’ensemble X qui se fait uniquement modulo les sous-groupes connexes de G. Cette précision, que repose sur une estimation fine du nombre des composantes connexes du stabilisateur d’une sous-variété de G expliquée au § 5, prend tout son relief lorsque l’ensemble X contient des points de torsion de G. Enfin l’aspect multihomogène du résultat, qui est crucial lorsque l’on considère un groupe algébrique produit, repose sur une corpus de résultats d’algèbre commutative donné en appendice.
Il est à noter que le lemme \(A_ 1\) est partiellement erroné bien que cela n’ait aucune conséquence pour les autres résultats de l’article. (Un idéal I de rang r a tous ses degrés \(\sigma_ j(I)\) nuls si et seulement si il contient une puissance de l’ideal \(\cap^{k}_{i=1}(X_{i,0},...,X_{i,N_ i})\), ce qui peut fort bien arriver dès que \(k\geq 2\) même lorsque \(1\leq r\leq N=N_ 1+...+N_ k.)\)
Reviewer: P.Philippon

MSC:
11J81 Transcendence (general theory)
11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
14L10 Group varieties
30C15 Zeros of polynomials, rational functions, and other analytic functions of one complex variable (e.g., zeros of functions with bounded Dirichlet integral)
14N05 Projective techniques in algebraic geometry
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Full Text: DOI EuDML
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