×

On the Galois structure of algebraic integers and S-units. (English) Zbl 0564.12016

Soit N/K une extension finie galoisienne de corps de nombres de groupe de Galois G. Soit S un ensemble fini de places de N stable par G. On note U le groupe des S-unités de N et X l’ensemble \(\{\) \(\sum_{n\in S}n_ v v\), \(\sum_{v\in S}n_ v=0\}\). En supposant S assez gros, J. Tate a défini une classe canonique \(\alpha\) (N/K,S) dans Ext\({}^ 2_ G\)(X,U) et en a déduit une suite exacte de G-modules de type fini \(0\to U\to A\to B\to X\to 0\) dans laquelle A et B ont une dimension projective finie. L’auteur montre que la classe \(\Omega_ m=(A)-(B)\), dans le groupe de Grothendieck \(K_ 0({\mathbb{Z}}[G])\) classifiant de tels modules, ne dépend ni du choix de A et B dans la suite précédente, ni du choix de S dès que S est assez gros.
D’un autre côté, la structure additive de l’anneau des entiers \({\mathcal O}_ N\) de N donne un invariant \(\Omega_ a=({\mathcal O}_ N)- [K:{\mathbb{Q}}]({\mathbb{Z}}[G])\). D’après les travaux de A. Fröhlich \(\Omega_ a\) est déterminé par une relation liant les sommes de Gauss aux résolvantes. L’auteur fait le parallèle avec la théorie additive et la conjecture de J. Tate affirmant que \(\Omega_ m\) est déterminé par une relation liant le premier coefficient du développement en série en \({\mathcal O}\) de la série L d’Artin et la notion de régulateur.
Cet article donne une démonstration de cette conjecture dans le cas où \(K={\mathbb{Q}}\), G est abélien de degré premier et la conjecture de Gras est vraie (cette conjecture est maintenant démontrée grâce aux travaux de Mazur et Wiles).
Reviewer: J.Queyrut

MSC:

11R33 Integral representations related to algebraic numbers; Galois module structure of rings of integers
16E20 Grothendieck groups, \(K\)-theory, etc.
11R42 Zeta functions and \(L\)-functions of number fields
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Bass, H.: AlgebraicK-theory. New York: W.A. Benjamin Inc. 1968 · Zbl 0174.30302
[2] Chinburg, T.: Derivatives ofL-functions ats=0 (after Stark, Tate, Bienenfeld and Lichtenbaum). Compositio Mathematica48, 119-127 (1983) · Zbl 0505.12022
[3] Coates, J., Lichtenbaum, S.: On 1-adic zeta functions. Ann. of Math.98 (n. 3), 498-550 (1973) · Zbl 0279.12005
[4] Frohlich, A.: Galois module structure. In: Algebraic Number Fields (L-functions and Galois properties), pp. 133-191. New York: Academic Press 1977
[5] Frohlich, A.: Some problems of Galois module structure for wild extensions. Proc. London Math. Soc.37, 193-212 (1978) · Zbl 0389.12004
[6] Gillard, R.: Unites cyclotomiques, unites semi-locales etZ 1-extensions. Ann. Inst. Fourier29, 49-79 (1979) · Zbl 0387.12002
[7] Gras, G.: Classes d’ideaux des corps abeliens et nombres de Bernoulli generalises. Ann. Inst. Fourier27, 1-66 (1977) · Zbl 0336.12004
[8] Greenberg, R.: Onp-adicL-functions and cyclotomic fields II. Nagoya Math. J.67, 139-158 (1977) · Zbl 0373.12007
[9] Hilbert, D.: Bericht: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. Jber. dt. Math. Verein.4, 175-546 (1897) · JFM 28.0157.05
[10] Lichtenbaum, S.: Letter to J. Tate (1978)
[11] MacLane, S.: Homology. 2nd ed. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1967
[12] Martinet, J.: Character theory and ArtinL-functions. In: Algebraic Number Fields (L-functions and Galois properties), pp. 1-87. New York: Academic Press 1977
[13] Mazur, B., Wiles, A.: Class fields of abelian extensions ofQ. Invent. Math. (in press) · Zbl 0545.12005
[14] Queyrut, J.: Letter to Chinburg (1982)
[15] Serre, JP.: Corps locaux. 2nd ed. Paris: Hermann 1968
[16] Stark, H.M.:L-functions ats=1. I, II, III, IV. Advances in Math.7, 301-343 (1971);17, 60-92 (1975);22, 64-84 (1976);35, 197-235 (1980) · Zbl 0263.10015
[17] Swan, R.G.: Induced representations of projective modules. Ann. of Math.71, 552-578 (1960) · Zbl 0104.25102
[18] Swan, R.G., Evans, E.G.:K-theory of finite groups and orders. Springer Lecture Notes 149. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1970 · Zbl 0205.32105
[19] Tate, J.: Les conjectures de Stark sur les fonctionsL d’Artin ens=0; notes d’un cours à Orsay redigeés par D. Bernardi et N. Schappacher. (to appear)
[20] Tate, J.: The cohomology groups of tori in finite Galois extensions of number fields. Nagoya Math. J.27, 709-719 (1966) · Zbl 0146.06501
[21] Ullom, S.V.: A survey of class groups of integral group rings. In: Algebraic Number Fields (L-functions and Galois properties), pp. 709-719. New York: Academic Press 1977
[22] Wall, C.T.C.: Periodic projective resolutions. Proc. London Math. Soc. (3)39, 509-553 (1979) · Zbl 0433.18006
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.