Caractérisations des zéros des fonctions de certaines classes de type Nevanlinna dans le bidisque. (French) Zbl 0564.32002

Charpentier, Philippe

Ann. Inst. Fourier 34, No. 1, 57-98 (1984).

Pour \(z=(z_ 1,z_ 2)\) dans le bidisque-unité \(D^ 2\), soit \(\delta (z)=\inf (1-| z_ 1|^ 2,1-| z_ 2|^ 2);\) X étant un ensemble analytiques dans \(D^ 2\), de dimension pure 1, et \(d\sigma\) la mesure d’aire sur X, soit \(A(X,\alpha)=\int_{X}\delta^{\alpha}d\sigma.\) Si \(\alpha >-1:\) la condition \(A(X,\alpha +2)<+\infty\) est nécessaire et suffisante pour que X soit l’ensemble des zéros d’une f holomorphe sur \(D^ 2\) telle que \(\delta^{\alpha}\ln^+| f|\) soit intégrable sur \(D^ 2\). La condition \(A(X,1)<+\infty\) est nécessaire [résultat contenu dans un article antérieur de l’A., Math. Ann. 242, 27-46 (1979; Zbl 0387.32003)], la condition \(A(X,\beta)<+\infty\) pour un \(\beta <1\) suffisante pour que X soit l’ensemble des zéros d’une f holomorphe sur \(D^ 2\) telle que l’intégrale sur la frontière topologique de \(D^ 2\) de \(z\mapsto \ln^+| f(rz)|\) soit bornée pour \(r<1\). La condition \(A(X,\alpha +1)<+\infty,\) \(-1<\alpha \leq 0\), (resp.: X d’aire finie) est suffisante pour que X soit l’ensemble des zéros d’une f holomorphe sur \(D^ 2\) telle que \(\zeta \mapsto (1-| \zeta |^ 2)^{\alpha}\ln^+| f(\zeta,\zeta)|\) soit intégrable sur D (resp.: que l’intégrale sur la frontière distinguée de \(D^ 2\) de \(z\mapsto \ln^+| f(rz)|\) soit bornée pour \(r<1)\); les deux dernières conditions suffisantes sont strictement plus fortes que les conditions nécessaires obtenues par l’A. (loc. cit.), portant sur le courant d’intégration sur X.

Reviewer: M.Hervé

MSC:

32A10	Holomorphic functions of several complex variables
32A07	Special domains in \({\mathbb C}^n\) (Reinhardt, Hartogs, circular, tube) (MSC2010)
32C30	Integration on analytic sets and spaces, currents

Keywords:

bidisk; zero set of holomorphic function; Nevanlinna class; current

Citations:

Zbl 0399.32003; Zbl 0387.32003

References:

[1]	[1] et , Solutions de l’équation ∂ et zéros de la classe de Nevanlinna dans certains domaines faiblement pseudoconvexes, Ann. Inst. Fourier, 32-4 (1982), 53-89. · Zbl 0493.32005
[2]	[2] , Sur la formule de Jensen et les zéros des fonctions holomorphes dans le polydisque, Math. Ann., 242 (1979), 27-46. · Zbl 0387.32003
[3]	[3] , Formules explicites pour les solutions minimales de l’équation ∂u = f dans la boule et dans le polydisque de Cn, Ann. Inst. Fourier, 30-4 (1980), 121-154. · Zbl 0425.32009
[4]	[4] and , Zeros of holomorphic functions of finite order and weighted estimates for solutions of the ∂-equation, Mat. Sb., 107 (1979), 163-174. · Zbl 0392.32001
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[6]	[6] , Fonctionnelles analytiques et fonctions entières (n variables), Montréal, Presses de l’Univ. Montréal (1968). · Zbl 0194.38801
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[8]	[8] , BMO functions and the ∂-equation, Pacific J. Math., 71 (1977), 221-273. · Zbl 0371.35035