Matrix methods in analysis. (English) Zbl 0564.46001

Antosik, Piotr; Swartz, Charles

Lecture Notes in Mathematics. 1113. Berlin etc..: Springer-Verlag. IV, 114 p. (1985).

Die Autoren stellen neue Beweise und auch bemerkenswerte neue Varianten von Sätzen der Funktionalanalysis dar, die überlicherweise mit einem Baire-Kategorie-Argument oder mit der Methode des gleitenden Buckels bewiesen werden. Als Ersatz für die beiden genannten Beweisprinzipien dient dabei das folgende ”Basic Matrix Theorem”:
Sei (E,\(| \cdot |)\) eine normierte Abelsche Gruppe; \((x_{ij})_{(i,j)\in {\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}}}\) sei eine Doppelfolge in E, so daß gilt:
i) \(\lim_{i\to \infty}x_{ij}=:x_ j\) existiert für jedes j;
ii) jede Teilfolge der Folge der natürlichen Zahlen enthält eine Teilfolge \((n_ j)_{j\in {\mathbb{N}}}\), so daß \(\sum^{\infty}_{j=1}x_{in_ j}\) für jedes i konvergiert und \((\sum^{\infty}_{j=1}x_{in_ j})_{i\in {\mathbb{N}}}\) eine Cauchyfolge bildet.
Dann ist die Konvergenz in i) gleichmäßig in j, insbesondere gilt \(\lim_{i\to \infty}x_{ii}=0.\)
Der Beweis ist in Umfang und Stil einem Beweis mit dem gleitenden Buckel ähnlich. Weiterer wesentlicher Hilfsbegriff ist der Begriff der K- Konvergenz: Eine Folge \((x_ i)_{i\in {\mathbb{N}}}\) in (E,\(| \cdot |)\) heißt K-konvergent, wenn jede Teilfolge von \((x_ i)_{i\in {\mathbb{N}}}\) eine Teilfolge \((x_{i_ k})_{k\in {\mathbb{N}}}\) enthält, für die \(\sum^{\infty}_{k=1}x_{i_ k}\) konvergiert. In einem F- Raum ist jede Nullfolge K-konvergent.
Auf überraschend kurzem Weg kommt man damit zum Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit, dem Satz von Banach-Steinhaus, Sätzen über die Hypostetigkeit von bilinearen Abbildungen, Sätzen über vektorwertige Maße (Orlicz-Pettis, Nikodym, Brooks-Jewett, Vitali-Hahn-Saks), zum Lemma von Schur, zum Lemma von Phillips. Der letzte Abschnitt enthält eine elegante und elementare Darstellung von Sätzen über Banach-Räume, die \(c_ 0\) bzw. \(\ell^{\infty}\) enthalten (Bessaga-Pelczynski, Diestel-Faires u.a.).
Diese Lecture Notes sind sicherlich für jeden, der mit Funktionalanalysis befaßt ist, eine nutzbringende und erfreuliche Lektüre.

Reviewer: H.Pfister

MSC:

46-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functional analysis
40C05	Matrix methods for summability
46A19	Other “topological” linear spaces (convergence spaces, ranked spaces, spaces with a metric taking values in an ordered structure more general than \(\mathbb{R}\), etc.)
46G10	Vector-valued measures and integration
40A05	Convergence and divergence of series and sequences
46B25	Classical Banach spaces in the general theory

Keywords:

uniform boundedness principles; vector measures; bilinear maps; summability; imbedding \(c_ 0\) and \(\ell ^{\infty }\) into Banach spaces; normed abelian group; K convergence