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Puits de potentiel généralisés et asymptotique semi-classique. (Generalized potential wells and semiclassical asymptotic). (French) Zbl 0565.35082
Le modèle du problème étudié dans cet article est l’oscillateur anharmonique avec double puits symétrique \(P(h)=-h^ 2(d^ 2/dx^ 2)+x^ 4-x^ 2.\) Nous étudions en particulier les valeurs propres de P(h), modulo \(O(h^{\infty})\), dans la bande d’énergie associée aux deux puits (]-1/4,0[). Nous obtenons également des résultats près du minimum de l’énergie classique. La méthode utilisée repose sur un calcul symbolique et fonctionnel d’opérateurs dépendant du petit paramètre h et sur une théorie des opérateurs intégraux de Fourier apparentée à la méthode BKW et aux travaux de V. P. Maslov. Les outils utilisés sont suffisamment généraux pour traiter une classe assez large d’Hamiltoniens possédant des symétries et ne sont pas limitées au cas de la dimension 1.
Depuis la rédaction de cet article et dans le cadre de l’opérateur de Schrödinger des mesures plus précises du Splitting sont obtenues par B. Simon et Helffer-Sjöstrand (cf. par exemple le survey de J. Sjöstrand aux Actes du Colloque de St. Jean-De-Monts, Juin 1984).

MSC:
35P15 Estimates of eigenvalues in context of PDEs
35Q99 Partial differential equations of mathematical physics and other areas of application
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Full Text: Numdam EuDML
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