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A theory on non-developable generalized ruled surfaces in the elliptic space \(E^ m\). (English) Zbl 0565.53009
Im elliptischen Raum \(E^ m\) \((m\geq 4)\) der Krümmung 1, welcher o.B.d.A. als m-dimensionaler reeller projektiver Raum mit einer Absoluthyperquadrik \(\Gamma:x_ 0^ 2+...+x_ m^ 2=0\) vorliegt, sei M eine von einer einparametrigen Schar (vollständiger totalgeodätischer) n-dimensionaler Unterräume \(N\) \((2\leq n\leq m-2)\) erzeugte \((n+1)\)-dimensionale Untermannigfaltigkeit, genannt ”verallgemeinerte \((n+1)\)-Regelfläche” (v.R.). Die v.R. \(M\) sei nicht abwickelbar, d.h., zwischen den Punkten einer Erzeugenden N und den zugehörigen Tangentialräumen an \(M\) bestehe eine nichtentartete Projektivität. Verf. entwickelt die Grundzüge einer Theorie dieser v.R.: Zunächst werden die relevanten Begriffe eingeführt, z.B. die (beiden) Striktionspunkte und Drallwerte einer Geraden (=vollständige Geodätische) \(L\subset N\) sowie die (i.a. \(n+1)\) Striktionspunkte, die Hauptdrallwerte und Hauptachsen einer Erzeugenden N von M. Bei ihrer näheren Untersuchung werden insbesondere zahlreiche Beziehungen zu Krümmungseigenschaften von \(M\) (Skalarkrümmung von \(M\), Riemannsche Normalschnittkrümmung \(\neq 1\) von \(N\subset M\), Kurven extremaler Normalschnittkrümmung in N) hergestellt. Dabei spielen u.a. die (bezüglich \(\Gamma)\) ”duale” verallgemeinerte \((n+1)\)-Regelfläche \(f(M)\) von \(M\) sowie eine in den Erzeugenden \(N\) von \(M\) induzierte elliptische Metrik (der Krümmung 1, mit einer Absoluthyperquadrik \(\Gamma'\subset N\) so, daß \(f(\Gamma')=f(N)\cap\Gamma)\) eine wesentliche Rolle.
Reviewer: R.Koch

MSC:
53A25 Differential line geometry
53A35 Non-Euclidean differential geometry
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Full Text: EuDML
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