Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem. (English) Zbl 0565.58035

Gilkey, Peter B.

Mathematics Lecture Series, 11. Wilmington, Delaware: Publish or Perish, Inc. VIII, 349 p. $ 40.00 (1984).

Die vorliegende Monographie stellt eine stark erweiterte Fassung der Lecture Notes ”The index theorem and the heat equation” des Verf. dar (1974; Zbl 0287.58006). Zentrales Thema ist die Behandlung des Atiyah- Singer-Indexsatzes mit den Methoden der Wärmeleitungsgleichung und der lokalen Differentialgeometrie. Grob gesprochen besteht die Idee darin, den Index eines elliptischen Komplexes (über einer kompakten (riemannschen) Mannigfaltigkeit M) als Integral über lokale Invarianten \(a_ n\) darzustellen, die mit Hilfe der Wärmeleitungskerne der (dem Komplex zugeordneten) Laplace-Operatoren über eine asymptotische Entwicklung gewonnen werden. Die \(a_ n\) erfüllen gewisse funktorielle Eigenschaften, die es erlauben, den Index (mittels der Invariantentheorie) in Beziehung zu charakteristischen Klassen, d.h. topologischen Invarianten der zugrundeliegenden Bündel zu setzen.
Diesem Vorgehen entspricht der Aufbau des Buches, insbesondere der der ersten drei Kapitel. Das 1. Kapitel enthält eine klar verständliche Einführung in die Theorie der Pseudodifferentialoperatoren (über kompakten Mannigfaltigkeiten), insbesondere in die elliptische Theorie (elliptische komplexe Randwertprobleme) und deren funktionalanalytische Aspekte (Fredholm-Theorie), behandelt die Wärmeleitungsgleichung (für positive selbstadjungierte elliptische Operatoren) und bringt als zentrales Ergebnis die lokale Formel für den Index eines elliptischen Operators. Weiterhin werden speziellere Themen wie Lefschetzsche Fixpunktsätze und die \(\eta\)- und \(\zeta\)-Funktionen behandelt.
Im 2. Kapitel wird sodann alles notwendige Material über charakteristische Klassen zusammengestellt. Ferner werden invariantentheoretische Charakterisierungen spezieller Klassen (z. B. der Pontryagin-Klasse und gemischter Klassen des Tangentialbündels etc.) angegeben, die stets durch eine Untersuchung einer geeigneten Teilmenge des Polynomrings in den \(g_{ij}\) und deren Ableitungen \(((g_{ij})\) sei dabei die riemannsche Metrik) gewonnen werden. Als Anwendung dieser Ideen wird ein Wärmeleitungsbeweis des Satzes von Gauß-Bonnet gegeben.
Das 3. Kapitel stellt nun den eigentlichen Kern des Buches dar. Nach der Herleitung der jeweiligen Indexformeln für die vier klassischen elliptischen Komplexe (das sind: der de Rham-Komplex, der Signatur- Komplex, der Spin-Komplex (hier werden Ergebnisse über Spinoren, deren Darstellungen und Spinstrukturen auf Vektorbündeln eingesetzt) und der Dolbeault-Komplex) und einem Abstecher in die Kählersche Geometrie wird am Ende des Kapitels der Satz von Atiyah-Singer in seiner allgemeinen Form bewiesen. Die notwendigen Hilfsmittel aus der algebraischen Topologie (der Chern-Isomorphismus zwischen rationaler Kohomologie und K- Theorie; der Bottsche Periodizitätssatz) werden kurz in einem gesonderten Abschnitt zusammengestellt.
Das weniger ausführlich geschriebene 4. Kapitel schließlich ist speziellen Themen gewidmet. So werden der de Rham-Komplex und der Satz von Gauß-Bonnet für berandete Mannigfaltigkeiten behandelt. Ferner wird die getwistete Index-Formel von Atiyah-Singer-Patodi (mit Hilfe der \(\eta\)-Invariante) und die Lefschetzsche Fixpunktformel für die vier klassischen Komplexe (s.o.) hergeleitet. Es folgen eine Anwendung der \(\eta\)-Invariante auf die K-Theorie sphärischer Raumformen, eine Untersuchung der Singerschen Vermutung über die Eulerform und lokale Formeln für die Invarianten der Wärmeleitungsgleichung. Den Abschluß bildet eine Anwendung des bisherigen Ergebnisses auf Fragen der Spektralgeometrie.
Bis auf Anleihen aus der Invariantentheorie (ein Satz von Hermann Weyl in Kapitel 2) und der algebraischen Topologie (in Kapitel 3) und speziellere Verweise in Kapitel 4 ist die Darstellung in sich geschlossen.

Reviewer: B.Schomburg

MSC:

58J20	Index theory and related fixed-point theorems on manifolds
58-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to global analysis
58J70	Invariance and symmetry properties for PDEs on manifolds
58J35	Heat and other parabolic equation methods for PDEs on manifolds
58J50	Spectral problems; spectral geometry; scattering theory on manifolds

Keywords:

Atiyah-Singer index theorem; heat equation methods; invariance theory; characteristic classes; pseudo-differential operators

Citations:

Zbl 0287.58006