High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. (English) Zbl 0565.65048

Sweby, P. K.

SIAM J. Numer. Anal. 21, 995-1011 (1984).

In dieser Arbeit geht es um eine systematische Herleitung einer Klasse von expliziten Differenzenverfahren 2. Ordnung für die skalare Erhaltungsgleichung: \(u_ t+f(u)_ x=0\), \(t>0\), \(x\in {\mathbb{R}}\). Den Anstoß für diese Untersuchungen gab ein von P. L. Roe [Some contributions to the modelling of discontinuous flow, Proc. AMS/SIAM Seminar, San Diego (1983)] vorgeschlagenes Differenzenschema 2. Ordnung; dieses hat u.a. die Eigenschaft, die totale Variation der diskreten Lösung nicht zu erhöhen (Total Variation \(Di\min ishing=TVD)\), was zu bemerkenswert guten numerischen Ergebnissen beiträgt. Nach einem einleitenden Überblick werden zunächst Verfahren 1. Ordnung untersucht, insbesondere die von S. Osher [Riemann solvers, the entropy condition, and difference approximations, SIAM J. Numer. Anal. 21, 217-235 (1984)] konstruierten E-Schemata, deren Lösung gegen die physikalisch korrekte (Entropie-befriedigende) schwache Lösung des Ausgangsproblems konvergiert. Diesen E-Schemata werden nun sogenannte ”antidiffusive” Differenzenoperatoren überlagert, so daß das gesamte Verfahren von 2. Ordnung konsistent wird. Ferner wird durch Einführung einer Klasse geeigneter Limiter-Funktionen dafür gesorgt, daß diese Verfahren die TVD-Eigenschaft besitzen, wobei natürlich gewisse CFL-Bedingungen zu beachten sind. Die so erhaltenen Verfahren erweisen sich als Konvexkombinationen bei beiden klassischen Verfahren von Lax-Wendroff und Warming-Beam, die ja beide bekanntlich nicht TVD sind. Andererseits zeigt sich, daß die vom Verf. ausführlich diskutierten Verfahren von B. van Leer [J. Comput. Phys. 14, 361- 370 (1974; Zbl 0276.65055)], Roe [loc. cit.] und S. Chakravarthy und S. Osher [AIAA J. 21, 1241-1248 (1983; Zbl 0526.76074)] in der konstruierten Klasse enthalten sind und die TVD-Eigenschaft besitzen. Schließlich wird noch darauf hingewiesen, daß die Untersuchungen ohne sonderliche Schwierigkeiten auch auf Systeme von Erhaltungsgleichungen übertragbar sind. Einige numerische Testbeispiele beschließen diese interessante Arbeit.

Reviewer: F.v.Finckenstein

MSC:

65M06	Finite difference methods for initial value and initial-boundary value problems involving PDEs
65M12	Stability and convergence of numerical methods for initial value and initial-boundary value problems involving PDEs
35L65	Hyperbolic conservation laws

Keywords:

second order; oscillation free; limited antidiffusive flux; flux corrected transport; entropy condition; total variation diminishing; explicit difference schemes

Citations:

Zbl 0276.65055; Zbl 0526.76074