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High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. (English) Zbl 0565.65048
In dieser Arbeit geht es um eine systematische Herleitung einer Klasse von expliziten Differenzenverfahren 2. Ordnung für die skalare Erhaltungsgleichung: \(u_ t+f(u)_ x=0\), \(t>0\), \(x\in {\mathbb{R}}\). Den Anstoß für diese Untersuchungen gab ein von P. L. Roe [Some contributions to the modelling of discontinuous flow, Proc. AMS/SIAM Seminar, San Diego (1983)] vorgeschlagenes Differenzenschema 2. Ordnung; dieses hat u.a. die Eigenschaft, die totale Variation der diskreten Lösung nicht zu erhöhen (Total Variation \(Di\min ishing=TVD)\), was zu bemerkenswert guten numerischen Ergebnissen beiträgt. Nach einem einleitenden Überblick werden zunächst Verfahren 1. Ordnung untersucht, insbesondere die von S. Osher [Riemann solvers, the entropy condition, and difference approximations, SIAM J. Numer. Anal. 21, 217-235 (1984)] konstruierten E-Schemata, deren Lösung gegen die physikalisch korrekte (Entropie-befriedigende) schwache Lösung des Ausgangsproblems konvergiert. Diesen E-Schemata werden nun sogenannte ”antidiffusive” Differenzenoperatoren überlagert, so daß das gesamte Verfahren von 2. Ordnung konsistent wird. Ferner wird durch Einführung einer Klasse geeigneter Limiter-Funktionen dafür gesorgt, daß diese Verfahren die TVD-Eigenschaft besitzen, wobei natürlich gewisse CFL-Bedingungen zu beachten sind. Die so erhaltenen Verfahren erweisen sich als Konvexkombinationen bei beiden klassischen Verfahren von Lax-Wendroff und Warming-Beam, die ja beide bekanntlich nicht TVD sind. Andererseits zeigt sich, daß die vom Verf. ausführlich diskutierten Verfahren von B. van Leer [J. Comput. Phys. 14, 361- 370 (1974; Zbl 0276.65055)], Roe [loc. cit.] und S. Chakravarthy und S. Osher [AIAA J. 21, 1241-1248 (1983; Zbl 0526.76074)] in der konstruierten Klasse enthalten sind und die TVD-Eigenschaft besitzen. Schließlich wird noch darauf hingewiesen, daß die Untersuchungen ohne sonderliche Schwierigkeiten auch auf Systeme von Erhaltungsgleichungen übertragbar sind. Einige numerische Testbeispiele beschließen diese interessante Arbeit.
Reviewer: F.v.Finckenstein

MSC:
65M06 Finite difference methods for initial value and initial-boundary value problems involving PDEs
65M12 Stability and convergence of numerical methods for initial value and initial-boundary value problems involving PDEs
35L65 Hyperbolic conservation laws
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