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Bifurcation and multiplicity results for nonlinear elliptic problems involving critical Sobolev exponents. (English) Zbl 0568.35039
Les AA. étudient l’existence de solutions non triviales pour le problème aux limites: \(-\Delta u-\lambda u-u| u|^{q-2}=0\) dans \(\Omega\) ouvert borné de \({\mathbb{R}}^ n\), \(n\geq 3\); \(u=0\) sur \(\partial \Omega\) (\(\lambda\geq 0)\) lorsque q est l’exposant critique de Sobolev.
Ils démontrent que toute valeur propre \(\lambda_ i\) du laplacien est une valeur de bifurcation et donnent une estimation des voisinages de \(\lambda_ i\) où existent des solutions non triviales. Ceci étend un résultat de Brézis-Nirenberg. Ils montrent en outre que le nombre de solutions non triviales est au moins égal à deux fois la multiplicité de la valeur propre.
La démonstration consiste d’abord à montrer que la fonctionnelle énergie vérifie une condition de Palais-Smale sur un intervalle, et non pas globalement comme dans le cas d’exposants non critiques, puis à utiliser un résultat abstrait de théorie des points critiques. Les théorèmes restent valables lorsque \(\Omega\) est une variété riemannienne compacte de dimension \(\geq 3\) et \(\Delta\) l’opérateur de Laplace-Beltrami.
Reviewer: F.Conrad

MSC:
35J65 Nonlinear boundary value problems for linear elliptic equations
35B32 Bifurcations in context of PDEs
58E07 Variational problems in abstract bifurcation theory in infinite-dimensional spaces
35J20 Variational methods for second-order elliptic equations
35A15 Variational methods applied to PDEs
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Full Text: DOI Numdam EuDML
References:
[1] Ambrosetti, A.; Rabinowitz, P. H., Dual variational methods in critical point theory and applications, J. funct. Anal, t. 14, 349-381, (1973) · Zbl 0273.49063
[2] Aubin, Th, Problèmes isopérimétriques et espaces de Sobolev, J. Diff. Geom, t. 11, 573-598, (1976) · Zbl 0371.46011
[3] Aubin, Th, Nonlinear analysis on manifolds, Monge-Ampere equations, 252, (1982), Springer Grundelehren · Zbl 0512.53044
[4] Bartolo, P.; Benci, V.; Fortunato, D., Abstract critical point theorems and applications to some nonlinear problems with «strong resonance» at infinity, Journal of nonlinear Anal. T. M. A, t. 7, 981-1012, (1983) · Zbl 0522.58012
[5] Benci, V.; Fortunato, D., The dual method in critical point theory. multiplicity results for indefinite functionals, Ann. Mat. Pura Appl, t. 32, 215-242, (1982) · Zbl 0526.58013
[6] Brezis, H.; Nirenberg, L., Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents, Comm. Pure Appl. Math, t. XXXVI, (1983) · Zbl 0541.35029
[7] Brezis, H.; Kato, T., Remarks on the Schrödinger operator with singular complex potential, J. Math. Pures et Appl, t. 58, 137-151, (1979) · Zbl 0408.35025
[8] Luckhaus, S., Existence and regularity of weak solutions to the Dirichlet problem for semilinear elliptic systems of high order, J. Reine und Angew. Math, t. 306, 192-207, (1979) · Zbl 0395.35026
[9] Pohozaev, S. J., Eigenfunctions of the equation δu + λf(u) = 0, Soviet Math. Doklady, Dokl. Akad. Nauk SSSR, t. 165, 33-36, (1965), Translated from the Russian
[10] Talenti, G., Best constants in Sobolev inequality, Ann. Mat. Pure Appl, t. 110, 353-372, (1976) · Zbl 0353.46018
[11] Trudinger, N., Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structure on compact manifolds, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, t. 22, 265-274, (1968) · Zbl 0159.23801
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