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Singularités d’ordre supérieur de 1-formes, 2-formes et équations de Pfaff. (French) Zbl 0568.58001

From the text: Soit \(\omega\) une forme différentielle sur une variété \(M\) de dimension \(n\). Le rang de \(\omega\) en un point \(x\) de \(M\) est la codimension du noyau de \(\omega\), c’est-à-dire de l’espace \(K_{\omega}(x)=\{u\in T_ xM\mid u\rfloor \omega =0\}\). L’ensemble des points où le rang de \(\omega\) s’abaisse est une singularité de rang de la forme. La classe de \(\omega\) en \(x\) est la codimension de l’espace \(K_{\omega}(x)\cap K_{d\omega}(x)\). L’ensemble des points où la classe de \(\omega\) s’abaisse est une singularité de classe de la forme.
Une première étude des singularités de rang et de classe de formes différentielles a été entreprise par Jean Martinet dans sa thèse. Il démontre principalement, que dans les \(p\)-formes, le rang est génériquement maximum pour \(p\neq 2\), sauf peut être sur un ensemble de points isolés \((p=1, n-1, n)\). Pour les 2-formes génériquement l’ensemble des points où le rang est \(n-c\), est une sous variété de \(M\) de codimension \(c(c-1)/2\). La situation générique de la classe est analogue à celle du rang, mais ce sont les 1-formes au lieu des 2-formes qui ont un compartement particulier.
Comme pour les singularités de Thom-Boardman d’applications différentiables, on peut construire une théorie des singularités d’ordre supérieur de formes différentielles: c’est l’objet de cet article. La différence essentielle avec les singularités de Thom-Boardman, est que chaque ensemble singulier d’ordre supérieur est caractérisé par un tableau triangulaire d’invariants.
Le premier chapitre de cet article est consacré à la construction d’un tableau triangulaire d’invariants pour chaque germe de 2-formes. Un exposé de tous les résultats est donné dans le chapitre 2. Enfin, une esquisse de construction des singularités d’ordre supérieur de 2-formes se trouve dans le chapitre 3.

MSC:

58A15 Exterior differential systems (Cartan theory)
58A17 Pfaffian systems
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Full Text: DOI Numdam EuDML

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