Sur un théorème de G. Polya. (On a theorem of G. Polya). (French) Zbl 0569.10004

Bezivin, Jean-Paul

J. Reine Angew. Math. 364, 60-68 (1986).

Soit K un corps de caractéristique nulle, m un entier non nul et G un groupe de type fini du groupe multiplicatif de K. Le but de l’article est de démontrer le résultat suivant: Théorème: Soit F une série formelle à coefficients dans K, \(F(X)=\sum_{n\geq 0}a(n) X^ n\). On suppose que: (a) F vérifie une équation différentielle linéaire homogène à coefficients polynômes. (b) Il existe des suites \(c_ j(n)\) d’éléments de \(G\cup \{0\}\) telles que l’on ait pour tout n \(a(n)=\sum^{m}_{j=1}c_ j(n)\). Alors F représente le développement de Taylor à l’origine d’une fraction rationnelle.
Ce théorème permet de répondre à une question de G. Polya sur les propriétés arithmétiques des coefficients de Taylor des séries formelles algébriques.

MSC:

11B37	Recurrences
26C15	Real rational functions
41A58	Series expansions (e.g., Taylor, Lidstone series, but not Fourier series)

Keywords:

Taylor expansion; rational fraction; arithmetic properties of Taylor coefficients of formal algebraic series