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A p-adic measure attached to the zeta functions associated with two elliptic modular forms. I. (English) Zbl 0573.10020
Nach Resultaten von Shimura ist die Algebraizität spezieller Werte des Rankin-Produktes zweier Modulformen f und g bekannt. Der Autor konstruiert nun ein zugehöriges p-adisches Maß, mit der Absicht, diese speziellen Werte p-adisch interpolieren zu können. Dies ist motiviert durch den vermuteten Zusammenhang mit der Iwasawatheorie für elliptische Kurven (oder allgemeinere Situationen).
Man geht aus von zwei Modulformen f und g mit unterschiedlichem Gewicht \(k>\ell\), und nimmt an, daß f eine Neuform ist. Darüberhinaus wird g in der Regel als \(\theta\)-Reihe angesetzt (in § 8 wird der allgemeine Fall skizziert). Die gesuchten Maße werden zunächst mit Werten im Raum der p-adischen Modulformen (siehe § 4), konstruiert. Dies geschieht in § 6, indem man sog. ”Eisenstein-Maße”, ein ”theta-Maß” sowie deren ”Konvolution” konstruiert. Das so gewonnene Maß \(\Phi\) wird auf den ordinären Teil des Raums der p-adischen Modulformen projiziert und ergibt das Maß \(\Phi^ 0\). Dieses hat Werte in einem endlich-dimensionalen Vektorraum.
Ist nun f außerdem ordinär für p, so kann man eine geeignete Linearform \(\ell_ f\) auf den p-adischen Modulformen konstruieren (im wesentlichen ist \(\ell_ f\) die Bildung des ersten q- Entwicklungskoeffizienten), deren Werte in einem endlich-algebraischen Zahlkörper liegen. Das gewünschte Maß erhält man nun durch Verkettung der Linearform \(\ell_ f\) mit dem Maß \(\Phi^ 0\).
Reviewer: N.Klingen

MSC:
11F85 \(p\)-adic theory, local fields
11F67 Special values of automorphic \(L\)-series, periods of automorphic forms, cohomology, modular symbols
11S80 Other analytic theory (analogues of beta and gamma functions, \(p\)-adic integration, etc.)
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Full Text: DOI EuDML
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