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On some extensions of Hardy’s inequality. (English) Zbl 0574.26010
Im Anschluß an seine frühere Arbeit in Can. Math. Bull. 20, 307-312 (1977; Zbl 0398.26020)] beweist Verf. folgenden Satz: g sei stetig, nichtnegativ und nichtabnehmend auf [c,d] mit $g(c)=0$ und $g(d)=\infty$; f sei nichtnegativ und L-S-integrierbar bezüglich g auf [c,d], und für $\delta$ $\ne 0$ sei $$ F(x):=\int\sp{x}\sb{c}f(t)dg(t)\quad (\delta <0),\quad:=\int\sp{d}\sb{x}f(t)dg(t)\quad (\delta >0). $$ Ferner gelte für $p\ge 1$ oder $p<0\int\sp{d}\sb{c}g(x)\sp{\delta p- 1}[g(x)f(x)]\sp pdg(x)<\infty$ und für $0<p\le 1$ sei $\int\sp{d}\sb{c}g(x)\sp{\delta p-1}F(x)dg(x)<\infty.$ Dann ist mit $c\le a<b\le d$ $$ \int\sp{b}\sb{a}g(x)\sp{\delta p-1}F(x)\sp pdg(x)\le \delta\sp{-1}[g(b)\sp{\delta p}F(b)\sp p-g(a)\sp{\delta p}F(a)\sp p]+ $$ $$ \vert \delta \vert\sp{-p}\int\sp{b}\sb{a}g(x)\sp{\delta p- 1}[g(x)f(x)]\sp pdg(x) $$ für $p\ge 1$ oder $p<0$, während sich für $0<p\le 1$ die Ungleichung umkehrt. Der Faktor $\vert \delta \vert\sp{- p}$ ist bestmöglich. Für $p=1$ oder $f=0$ ist die Ungleichung strikt. - Für $\delta =(1-p)/p\quad (r\ne 1$ und $p\ge 1$ oder $p<0)$ ergeben sich Ungleichungen, die als Verallgemeinerungen zu der oben angeführten Arbeit des Verf. angesehen werden können. Weitere interessante Ungleichungen ergeben sich durch Spezialisierung von f(x), g(x) und $\delta$.
Reviewer: E.Beck

26D10Inequalities involving derivatives, differential and integral operators
Full Text: DOI EuDML