Sur une équation d’évolution intégro-différentielle singulière linéaire. (French) Zbl 0574.65145

Robert, R.; Witomski, P.

Numer. Math. 46, 493-498 (1985).

Les AA. examinent une équation d’évolution linéaire (E) avec une condition initiale; celle-ci est obtenue par la linéarisation d’une autre équation issue de la chimie des surfaces. L’équation proposée contient l’opérateur \(\Lambda^ 1\), qui est tel que \(\Lambda^ s,s\) réel est défini au moyen de la transformée de Fourier. Du point de vue théorique les AA. établissent l’existence et l’unicité d’une solution de l’équation (E). Ils considèrent une fonction \(\Phi\) (t,x) supposée telle que \(\Phi \in L^{\infty}([0,T]\times {\mathbb{R}}),\) et lipschitzienne sur \({\mathbb{R}}\). Ils examinent l’opérateur-\(\Lambda\) \({}^ 1D(\phi D)\), qui figure dans (E) et qui est, ainsi que \(\Lambda^ 1\), un opérateur intégro-différentiel. La proposition énoncée est démontrée au moyen de la coercivité de cet opérateur sur l’espace de Sobolev \(H^{3/2}({\mathbb{R}})\). En vue du traitement numérique du problème, les AA. approximent la fonction \(\Phi\) (t,x) par une suite de fonctions affines par morceaux \(\Phi_ m(t,x)\). Ils utilisent une suite croissante \(V_ m\) de sous-espaces de \(H^{3/2}\) douée de certaines propriétés topologiques; cette suite sera une approximation de l’espace \(H^{3/2}\). On est ramené à la résolution d’un problème variationnel discrétisé. Les AA. construisent une base \(e_ i\) en vue de déterminer les valeurs numériques des coefficients de la matrice pleine associée au système différentiel discret déduit de (E). Selon le choix de la base un procédé numérique efficace peut être obtenu.

Reviewer: Raoul F. Gloden (Ispra)

MSC:

65R20	Numerical methods for integral equations
45K05	Integro-partial differential equations
47Gxx	Integral, integro-differential, and pseudodifferential operators

Keywords:

existence; uniqueness; singular integro-differential evolution equation

References:

[1]	Calderon, A.P.: Commutators of singular integral operators. Proc. Natl. Acad. Sci. USA53, 1092-1099 (1965) · Zbl 0151.16901 · doi:10.1073/pnas.53.5.1092
[2]	Coifman, R., Meyer, Y.: Commutateurs d’intégrales singulières et opérateurs multilinéaires. Ann. Inst. Fourier Grenoble28, 177-202 (1978)
[3]	Duchon, J., Robert, R.: Evolution d’une interface solide-liquide sous l’effet de forces capillaires. C.R. Acad. Sci., Paris, Ser. I,293, 183-185 (1981) · Zbl 0483.76019
[4]	Lions, J.L., Magenes, E.: Problèmes aux limites non homogènes et applications. Paris: Dunod 1968 · Zbl 0165.10801