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Algebraische Zyklen auf Hilbert-Blumenthal-Flächen. (German) Zbl 0575.14004
In der Arbeit wird die Vermutung von Tate über die Gleichheit der Dimensionen des Raumes der Galois-Invarianten in der zweiten \(\ell\)- adischen Kohomologiegruppe und des von den Kohomologieklassen von Divisoren aufgespannten Raumes, und der Polordnung in \(s=2\) der entsprechenden L-Funktion für die nichtsingulären Kompaktifizierungen einer Hilbert-Blumenthal-Fläche betrachtet. Insbesondere wird die Vermutung über abelschen Erweiterungen von \({\mathbb{Q}}\) bewiesen. (Die Aussage wird auf eine entsprechende Aussage über Hilbert-Blumenthal- Flächen zurückgeführt.)
Dazu wird die mit der zweiten Schnittkohomologiegruppe gebildete L- Funktion mit einem Produkt von automorphen L-Funktionen identifiziert. Es wird gezeigt, daß eine unendlich-dimensionale automorphe Darstellung \(\pi\) bei der Zerlegung der zweiten (Schnitt-)Kohomologiegruppe unter der Aktion der Heckealgebra einen höchstens eindimensionalen Beitrag zu den Invarianten über einer zyklotomischen Erweiterung liefert, und daß dieser Beitrag genau dann nichttrivial ist, wenn \(\pi\) ”ausgezeichnet” (im Sinne der Definition 2.7. der Arbeit) ist. Analoges gilt für die Polordnung der entsprechenden L-Funktion von \(\pi\). Schließlich wird der Raum der ”Hirzebruch-Zagier-Zyklen” konstruiert, der von gewissen algebraischen Zyklen über zyklotomischen Körpern aufgespannt wird (i.w. Transformierte der Diagonalen unter den Heckeoperatoren), und es wird gezeigt, daß der Beitrag von \(\pi\) genau dann einen Hirzebruch- Zagier-Zykel enthält, wenn \(\pi\) ausgezeichnet ist. Es wird auch gezeigt, daß, falls der Beitrag von \(\pi\) Invarianten erst über einer nichtabelschen Erweiterung enthält, so ist \(\pi\) vom CM-Typ. Für den entsprechenden Teil der Kohomologie bleibt die Frage nach der Gültigkeit der Tate’schen Vermutungen ungeklärt [Vgl. aber: C. Klingenberg, Dissertation (Bonn)].

MSC:
14C99 Cycles and subschemes
14J25 Special surfaces
11F41 Automorphic forms on \(\mbox{GL}(2)\); Hilbert and Hilbert-Siegel modular groups and their modular and automorphic forms; Hilbert modular surfaces
14G10 Zeta functions and related questions in algebraic geometry (e.g., Birch-Swinnerton-Dyer conjecture)
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Full Text: Crelle EuDML