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Quelques résultats d’existence et de non-existence pour une E.D.P. elliptique non linéaire. (Some existence and non existence results for a nonlinear elliptic P.D.E.). (French) Zbl 0575.35030

On étudie l’existence et la non-existence de solutions positives non triviales de l’équation: \((1)\quad \Delta_ p u+\lambda f | u|^{\gamma -1}u=0\) dans \(\Omega\) ; \(u=0\) sur \(\partial \Omega\) lorsque \(\lambda >0\), \(\gamma >0\), \(p>N\). Sous l’hypothèse d’injection de \(W_ 0^{1,p}\) dans \(L^{\gamma +1}\) on montre que (1) admet une solution pour tout \(\lambda\) si \(p\neq \gamma +1\), et au moins une solution (\(\lambda\),u) si \(p=\gamma +1\). Ces résultats étendent ceux de M. Otani obtenus en dimension 1. Si f est constante et \(\Omega\) étoilé, on montre que l’injection de Sobolev est critique pour l’existence.
Dans le cas radial avec \(f(x)=| x|^ m\), \(m>0\), on montre encore que l’hypothèse d’injection (modulée par m) est critique pour l’existence, ce qui étend des résultats obtenus par W. M. Ni pour \(p=2\).
Reviewer: F.Conrad

MSC:

35J65 Nonlinear boundary value problems for linear elliptic equations
46E35 Sobolev spaces and other spaces of “smooth” functions, embedding theorems, trace theorems
35J25 Boundary value problems for second-order elliptic equations
35A05 General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)
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