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Unbounded subharmonic functions bounded in one tract. (English) Zbl 0576.31004
Soit \(H_ m\) la classe des fonctions sous-harmoniques non bornées sur \(R^ m\), \(m\geq 3\). Dans un travail antérieur [Acta Cient. Venez. 30, 349-359 (1979; Zbl 0442.31004)], l’A. a complété un théorème de Talpur sur la croissance des fonctions sous-harmoniques, en montrant que, pour \(u\in H_ m:\) \(si\quad m=3,\quad \int^{\infty}_{r_ 0}(1/r \log \log B(r,u))dr<\infty;\) \[ si\quad m\geq 4,\quad \int^{\infty}_{r_ 0}(\log r/\log B(r,u))^{m-3}(1/r)dr<\infty, \] où \(B(r,u)=\sup_{| x| =r} u(x)\) et \(r_ 0\) est tel que \(B(r_ 0,u)>e.\)
Dans cet article, l’A. construit deux exemples pour lesquels la convergence des intégrales ci-dessus est arbitrairement lente (ce qui prouve que le résultat est le meilleur possible): Soit \(\psi\) (r) une fonction non décroissante sur [0,\(\infty [\), telle que \(\psi (0)>0.\)
1) Si \(\int^{\infty}_{1}(1/t\psi (t))dt<\infty\), il existe une fonction \(u\in H_ 3\) telle que log log B(r,u)\(\leq \psi (r)\), \(\forall r\geq 0,\)
2) Si \(\int^{\infty}_{1}(1/r)(\log r/\psi (r))^{m-3}dr<\infty\), \(m\geq 4\), il existe une fonction \(u\in H_ m\) telle que log B(r,u)\(\leq \psi (r)\), \(\forall r\geq 0\).
Reviewer: R.M.Hervé

MSC:
31B05 Harmonic, subharmonic, superharmonic functions in higher dimensions
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References:
[1] DOI: 10.1112/plms/s3-32.1.181 · Zbl 0341.31004 · doi:10.1112/plms/s3-32.1.181
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[4] DOI: 10.1093/qmath/33.1.27 · Zbl 0509.31004 · doi:10.1093/qmath/33.1.27
[5] Hayman, Subharmonic Functions i (1976) · Zbl 0419.31001
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