Positiv-zerlegte p-Erweiterungen algebraischer Zahlkörper. (German) Zbl 0577.12006

Wingberg, Kay

J. Reine Angew. Math. 357, 193-204 (1985).

Es sei K ein algebraischer Zahlkörper, p eine Primzahl \(\neq 2\) und \(K_{\infty}\) die zyklotomische \({\mathbb{Z}}_ p\)-Erweiterung von K. In einer früheren Arbeit [Compos. Math. 55, 333-381 (1985)] bewies der Autor: Ist K vom CM-Typ, so besitzt K eine kanonische p-Erweiterung, deren Galoisgruppe über \(K_{\infty}\) eine Demushkingruppe ist, nämlich die maximale außerhalb p unverzweigte und bei p ”positiv- zerlegte” p-Erweiterung von K.
Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit einer Verallgemeinerung dieses Resultats auf Zahlkörper, die nicht notwendig selbst vom CM-Typ, sondern geeignete Erweiterungen eines solchen sind.
Sei K vom CM-Typ mit dem maximalen total reellen Teilkörper \(K^+\); K enthalte die Gruppe \(\mu_ p\) der p-ten Einheitswurzeln. Für eine bei p positiv-zerlegte p-Erweiterung E von K und eine Primstellenmenge S von K, welche die Menge \(\Sigma\) aller über p oder \(\infty\) liegenden Primstellen von K umfaßt, bezeichne \(\tilde E_ S\) die maximale außerhalb S unverzweigte und bei p positiv-zerlegte p-Erweiterung von E.
Sei gegeben eine bei p positiv-zerlegte p-Erweiterung E von K derart, daß \(E/K_{\infty}\) endlich galoissch ist. Unter den Annahmen \(\mu(K)=0\) und \(\mu_ p\not\subset K^+_{{\mathfrak p}}\) für die Primteiler \({\mathfrak p}\) von p in \(K^+\) beweist der Autor über die Struktur der Galoisgruppe \(G(\tilde E_ S/E)\) das folgende interessante Theorem:
i) \(G(\tilde E_{\Sigma}/E)\) ist trivial oder eine Demushkingruppe vom Rang \(2g_ E\) mit torsionsfreier Faktorgruppe, wobei \(g_ E\) durch eine Riemann-Hurwitz-Formel der Gestalt \[ 2-2g_ E=(2-2\lambda_ 1(K^+))[E:K_{\infty}]-\sum_{{\mathfrak p}\not\in \Sigma (E)}(e_{{\mathfrak p}}-1) \] gegeben ist.
ii) Für \(S\varsupsetneq \Sigma\) ist \(G(\tilde E_ S/E)\) eine freie pro-p-Gruppe vom Rang \[ rg G(\tilde E_ S/E)=2g_ E+\#S\setminus \Sigma (E)-1. \] iii) Für \(S\supseteq \Sigma\) besitzt \(G(\tilde E_ S/E)\) eine Darstellung durch Erzeugende \(x_ 1,y_ 1,...,x_{g_ E},y_{g_ E}\); \(u_{{\mathfrak p}}\) (\({\mathfrak p}\in S\setminus \Sigma (E))\) und einer Relation \[ \prod_{{\mathfrak p}\in S\setminus \Sigma(E)}u_{{\mathfrak p}}\cdot \prod^{g_ E}_{i=1}[x_ i,y_ i]=1. \]

Reviewer: G.Tamme

MSC:

11R32	Galois theory
11R34	Galois cohomology
11R18	Cyclotomic extensions
20E18	Limits, profinite groups
20F05	Generators, relations, and presentations of groups

Keywords:

cyclotomic \({\mathbb{Z}}_ p\)-extension; CM-type; Demushkin group; positively; decomposed; Galois group; Riemann-Hurwitz formula; free; pro- p-group; generators; relations