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p-torsion points of elliptic curves defined over quadratic fields. (English) Zbl 0578.14021

Sei k ein endlicher algebraischer Zahlkörper und sei p eine Primzahl. Für jede elliptische Kurve E über k bilden die k-rationalen Punkte von p-Potenzordnung auf E eine endliche Gruppe, deren Ordnung nach einem Resulat von Manin universell beschränkt ist. Sei n(k,p) die kleinste universelle Schranke. Für \(k={\mathbb{Q}}\) sind die Schranken n(\({\mathbb{Q}},p)\) seit längerem bekannt. Der Autor betrachtet quadratische Zahlkörper k und komplettiert bereits erzielte Ergebnisse von M. A. Kenku [J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 19, 233-240 (1979; Zbl 0431.14007), 22, 239- 244 (1980; Zbl 0437.14022) and 23, 415-427 (1981; Zbl 0425.14006)] über die Schranke n(k,p) mit folgendem Theorem:
n(k,11)\(\leq 1\), n(k,13)\(\leq 1\) und \(n(k,p)=0\) für Primzahlen \(p\leq 17\), sofern die Gruppe der \({\mathbb{Q}}\)-rationalen Punkte von \(J^-_ 0(p)\) endlich ist.
Hierbei ist \(J^-_ 0(p)=J_ 0(p)/(1+w_ pJ_ 0(p))\), wobei \(J_ 0(p)\) die Jacobische der Modulkurven \(X_ 0(p)\) und \(w_ p\) die kanonische Involution auf \(J_ 0(p)\) ist. - Der Autor vermutet generell \(n(k,p)=0\) für \(p\geq 17\). Der Beweis des Theorems erfordert mehrere Fallunterscheidungen und macht extensiven Gebrauch von der Theorie der Modulkurven \(X_ 1(p^ r)\) und \(X_ 0(p^ r)\) und ihren minimalen Modellen über \({\mathbb{Z}}\).
Reviewer: G.Tamme

MSC:

14G05 Rational points
14H25 Arithmetic ground fields for curves
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