×

zbMATH — the first resource for mathematics

Estimates for the characteristic function of a prime ideal. (English. Russian original) Zbl 0579.10030
Math. USSR, Sb. 51, 9-32 (1985); translation from Mat. Sb., Nov. Ser. 123 (165), No. 1, 11-34 (1984).
Sei K ein Körper der Charakteristik 0 und P ein homogenes Primideal von \(K[X]=K[x_ 0,x_ 1,...,x_ m]\), \(m\geq 1\). Die Gesamtheit aller homogenen Polynome vom Grad \(\nu\) in K[X] modulo P bildet einen Vektorraum \(L_ P(\nu)\) über K. Schon D. Hilbert (1890) hat bewiesen, daß die Dimension \(X_ P(\nu)\) (”Charakteristische Funktion von P”) für große Werte von \(\nu\) ein Polynom in \(\nu\) ist. Außerdem gilt, für genügend große Werte von \(\nu\), \(X_ P(\nu)\leq g\cdot \nu^ d\), wobei d die projektive Dimension von P und g die Anzahl der Schnittpunkte der durch P definierten projektiven Mannigfaltigkeit mit einem allgemeinen (m-d)-dimensionalen linearen Unterraum bezeichnet.
In der Theorie der transzendenten Zahlen benötigt man ähnliche Abschätzungen für \(X_ P(\nu)\), auch von unten, ebenso für die kleinen Werte von \(\nu\). In dieser Arbeit wird eine Abschätzung von oben für \(X_ P(\nu)\) und alle Werte \(\nu\geq 1\) gewonnen (Th. 1). Eine etwas andere Aufgabe betrachtet man für den Fall, wo anstelle von K ein Hauptidealring R mit Einselement auftritt (und wiederum \(R\cap P=(0)\) gilt) insbesondere wenn \(R=K[z]\) (Th. 2) und \(R={\mathbb{Z}}\) (Th. 3). Auf die genauen Formulierungen dieser Ergebnisse können wir hier leider nicht eingehen.
Reviewer: V.Perić

MSC:
11C08 Polynomials in number theory
13F20 Polynomial rings and ideals; rings of integer-valued polynomials
11E76 Forms of degree higher than two
11J81 Transcendence (general theory)
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI