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Front d’onde analytique et sommes de carrés de champs de vecteurs. (French) Zbl 0581.35009
Les auteurs étudient le front d’onde analytique des solutions d’équations aux dérivées partielles de la forme \(P=\sum^{d}_{j=1}X^ 2_ j\) où \(X_ j\), \(j=1,...,d\), sont des champs de vecteurs réels, à coefficients réels analytiques, définis dans on ouvert \(\Omega\) de \({\mathbb{R}}^ n\). Un théorème bien connu de Hörmander dit que P est hypoelliptique \(C^{\infty}\) dans \(\Omega\) s’il existe un entier \(r\geq 1\) tel que: (*) en tout point \(x\in \Omega\), l’espace tangent \(T_ x{\mathbb{R}}^ n\) est engendré par les \(X_ i\) et leurs crochets de longueur \(\leq r\). Mais cette condition n’est pas suffisante pour que P soit hypoelliptique analytique; il faut rajouter des conditions sur la variété caractéristique \(\Sigma\) de P. Les résultats obtenus par le deuxième auteur [Hokkaido Math. J. 12, 392-433 (1983; Zbl 0531.35022)] s’appliquent à P satisfaisant (*) avec \(r=2\) et donnent l’hypoellipticité analytique ou une propriété de propagation des singularités dans différents cas géométriques. Dans le présent article les auteurs considèrent le cas où (*) est satisfaite avec \(r\geq 3\) en précisant les techniques utilisées par le deuxième auteur. En particulier ils doivent construire des inégalités a priori plus faibles en adaptant les preuves d’inégalités dans le réel; pour cela ils introduisent pour des opérateurs pseudo-différentiels dans le complexe des réalisations dites du type de Bergman, qui permettent facilement de passer à l’adjoint. Ils obtiennent un résultat de propagation de singularités pour une situation générique de la variété \(\Sigma\) dans laquelle (*) est satisfaite à l’ordre \(r=3\). Ils donnent aussi une catégorie d’exemples d’opérateurs hypoelliptiques analytiques vérifiant (*) avec \(r>2\).
Reviewer: P.Bolley

MSC:
35H10 Hypoelliptic equations
35A20 Analyticity in context of PDEs
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References:
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