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General nets and their associated groupoids. (English) Zbl 0583.20057
n-ary structures, Proc. Symp., Skopje/Yugosl. 1982, 229-241 (1982).
[For the entire collection see Zbl 0549.00006.]
Seit Blaschke, Thomsen und Reidemeister weiß man, daß sich Quasigruppen, insbesondere Loops und Gruppen, durch 3-Gewebe \((=\) 3- Netze) elegant darstellen lassen. Hier werden diese Gedankengänge auf mehrstellige Gruppoide erweitert. An die Stelle des 3-Gewebes tritt das ”allgemeine Netz” \(N=(P,Q,I,\|)\). Hierunter versteht Verf. zwei Mengen P,Q\(\neq \emptyset\), eine Inzidenzrelation \(I\subset P\times Q\) und eine Äquivalenzrelation \(\|\) auf Q mit \(| Q/\| | \geq 3\), so daß gilt:
(i) \(\forall a\in Q: [q]:=\{p\in P|\) pIq\(\}\) \(\neq \emptyset,\)
(ii)\(\forall p\in P\) \(\forall q\in Q\) \(\exists_ 1r\in Q\) mit pIr, \(q\| r,\)
(iii) Wenn \(R\subset Q\) ein Repräsentantensystem von \(\|\) ist, so gilt \(| \cap \{[r]|\) \(r\in R\}| \leq 1\). \(| Q/\| |\) wird der Grad des Netzes genannt.
Verf. zeigt, wenn \((P,Q,I,\|)\) nur (i), (ii) erfüllt und ”p\(\sim p': \Leftrightarrow\) \(\exists\) Repräsentantensystem R von \(\|\) mit \(\forall r\in R:\) p,p’Ir” ist, so ist \((P/\sim,Q,I/\sim,\|)\) ein Netz. Er gibt kennzeichnende Eigenschaften für Netz-Isomorphismen an, untersucht, wann ein Netz N mit \(N'=(P,\{[q]|\) \(q\in Q\},\in,\|)\) isomorph ist (N’ heißt dann Netz mit natürlicher Inzidenz). Für eine Familie \((S_ i)_{i\in J}\) mit \(S_ i\neq \emptyset\) und \(| J| \geq 3\) wird \(S\subset \times \{S_ i|\) \(i\in J\}\) zulässige Relation genannt, wenn \(\forall i\in J:\) \(proj_ iS=S_ i\). Zusammenhänge zwischen zulässigen Relationen und Netzen werden angegeben. Mit diesen Strukturen korrespondieren ”multibasic groupoids” \(((A_ i)_{i\in J},A_ 0,\Omega)\), d.h. \(A_ 0\) und die \(A_ i\) sind Mengen \(\neq \emptyset\) und \(\Omega\) : \(\times \{A_ i|\) \(i\in J\}\to A_ 0\) ist eine Abbildung.
Strukturaussagen über diese Gruppoide und ihre Beziehungen zu allgemeinen Netzen und zulässigen Relationen werden erörtert.
Reviewer: H.Karzel

MSC:
20N15 \(n\)-ary systems \((n\ge 3)\)
51A25 Algebraization in linear incidence geometry
51A15 Linear incidence geometric structures with parallelism