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Algèbre commutative. Applications en géométrie et théorie des nombres. (French) Zbl 0584.13001
Collection Maîtrise de Mathématiques Pures. Paris etc.: Masson. 250 p. FF 145.00 (1985).
Ce livre est en principe destiné aux étudiants de maitrise (undergraduate), mais son niveau théorique et l’étendue des sujets abordés en font aussi (et surtout) un ouvrage de référence sur les bases de l’algèbre commutative. Sa lecture permettra d’aborder des exposés plus spécialisés notamment en théorie des nombres et en géométrie algébrique. Pour ce dernier domaine signalons que les notions liées à la cohomologie (platitude,...) ne sont pas abordées.
L’exposé théorique est complété par un recueil d’exercices corrigés dans lequel on trouve beaucoup d’exemples et de contre exemples ainsi que quelques prolongements de la théorie. - L’exposé s’organise autour de trois thèmes:
Tout d’abord la théorie des corps (chapitres 5, 6, 7 et 8). Outre l’exposé classique de cette théorie (extension de corps, séparabilité, théorie de Galois) on trouve un chapitre plus original sur les corps ordonnés et le théorème d’Artin-Schreier. Cette partie est illustrées par des applications concrètes: résolution des équation par radicaux, en particulier celles de degré 2, 3 et 4, constructions à la règle et au compas, nombres de Fermat.
Ensuite l’étude des anneaux commutatifs. Illustrée par les anneaux de polynômes (chapitre 1) et par les anneaux de séries formelles (à propos desquelles sont introduites les notions de graduation et de filtration) (chapitre 10), on trouve une étude systématique des anneaux factoriels (chapitre 3) et de Dedekind (chapitre 9) ainsi que les principales propriétés des anneaux Artiniens et Noethériens (la décomposition primaire n’est pas complètement établie mais figure dans le livre d’exercises).
Enfin la théorie des valeurs absolues (chapitres 12, 13 et 14). On trouve les résultats classiques concernant les valuations (essentiellement valuations discrètes), les complétions pour une valeur absolue, le prolongement des valeurs absolues et la formule du produit.
Ces résultats généraux sont appliqués d’une part à la géométrie algébrique sur un corps algébriquement clos (chapitre 11) avec la définition des variétés algébriques affines (assez complètement étudiées) et des variétés projectives, d’autre part à la théorie des nombres avec la démonstration de la finitude du nombre de classe et le théorème des unités obtenus à partir de la construction des idèles.
Sur un sujet aussi classique, il est difficile d’être original. Cependant, les nombreuses applications qui illustrent les notions abstraites font la richesse de ce livre et rendent sa lecture attrayante. D’autre part, malgré une présentation dense et un peu austère, il est relativement facile de trouver un résultat particulier grâce à un index assez complet.
Reviewer: G.Christol

MSC:
13-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to commutative algebra
12-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory
12Fxx Field extensions
13Fxx Arithmetic rings and other special commutative rings
14-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to algebraic geometry
13-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to commutative algebra
14A10 Varieties and morphisms
11R23 Iwasawa theory
13A18 Valuations and their generalizations for commutative rings
13E05 Commutative Noetherian rings and modules
13E10 Commutative Artinian rings and modules, finite-dimensional algebras