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Elementary introduction to new generalized functions. (English) Zbl 0584.46024
North-Holland Mathematics Studies, 113. Notas de Matemática (103). Amsterdam-New York-Oxford: North-Holland. XIII, 281 p. S 44.50; Dfl. 120.00 (1985).
Sei \({\mathcal A}_ q=\{\phi \in {\mathcal D}({\mathbb{R}}^ n);\int \phi (\lambda)dx=1\), \(\int \lambda^ i\phi (x)d\lambda\) \(0\leq | i| \leq q\}\); \({\mathcal E}[{\mathbb{R}}^ n]\) ist die Menge aller Abbildungen \(R:A_ 1\times {\mathbb{R}}^ n\to {\mathbb{C}}\) die bzgl. der zweiten Variablen \({\mathcal C}^{\infty}\) sind. In \({\mathcal E}[{\mathbb{R}}^ n]\) betrachtet man die Menge \({\mathcal E}_ M\) der moderaten Elemente, die den Bedingungen \(\partial^ iR(\phi_{\epsilon},x)| \leq C/\epsilon^ N\) für \(\phi\in {\mathcal A}_ N\) genügen, und die Menge \({\mathcal N}\) aller R für die es eine wachsende Folge \(\alpha\) (q) gibt, so daß \[ | \partial^ iR(\phi_{\epsilon},x)| \leq \subset \epsilon^{\alpha (q)^{-N}},\phi \in {\mathcal A}_ q,q\geq N. \] Eine verallgemeinerte Funktion ist ein Element des Quotientenraumes \({\mathcal G}={\mathcal E}_{M/{\mathcal N}}\). Es wird gezeigt, wie verallgemeinerte Funktionen auf offenen Mengen definiert werden können, und es werden lokale Eigenschaften untersucht, \({\mathcal G}(\Omega)\) ist eine Garbe. Die weiteren Kapitel bringen Anwendungen auf die Physik, formale Störungsrechnungen der Quantenfeldtheorie werden gerechtfertigt, und auf die Analysis.
Das Produkt verallgemeinerte Funktionen ist immer definiert; damit lassen sich dann nichtlineare partielle Differentialgleichungen lösen.
Reviewer: G.Bengel

MSC:
46F05 Topological linear spaces of test functions, distributions and ultradistributions
46F10 Operations with distributions and generalized functions
46-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functional analysis
81T17 Renormalization group methods applied to problems in quantum field theory
81Q15 Perturbation theories for operators and differential equations in quantum theory