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The local isometric embedding in \(R^ 3\) of 2-dimensional Riemannian manifolds with nonnegative curvature. (English) Zbl 0584.53002

Das lokale isometrische Einbettungsproblem einer zweidimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit \(F\) mit Riemannscher Metrik \(E\;du^ 2+2F\;du\;dv+G\;dv^ 2\) in den dreidimensionalen euklidischen Raum \(R^ 3\) mit den kartesischen Koordinaten \(x,y,z\) ist bekanntlich (unter geeigneten Regularitätsvoraussetzungen) für den Fall \(K>0\) und \(K<0\) \((K\)= Gaußsche Krümmung von \(F\)) gelöst worden. Verf. zeigt, daß für ein F mit einer Metrik der Differenzierbarkeitsklasse \(C^ s\) \((s\geq 10)\), für welche \(K\geq 0\) gilt, ebenfalls eine lokale isometrische Einbettung in den \(R^ 3\) der Differenzierbarkeitsklasse \(C^{s-6}\) existiert. Sein Beweis stützt sich auf die Methode von Darboux (die Gaußsche Krümmung von \(E\;du^ 2+2F\;du\;dv+G\;dv^ 2-dz^ 2\) verschwindet) und die (funktionalanalytische) Methode des ”iterativen Schemas” von Nash-Moser-Hörmander.
Reviewer: K. Leichtweiß

MSC:

53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
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