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Der Primidealraum der \(C^*\)-Algebra und die unzerlegbaren Charaktere der Gruppe Gl(\(\infty,q)\). (The prime ideal space of the \(C^*\)-algebra and the irreducible characters of the group Gl(\(\infty,q))\). (German) Zbl 0585.22008
Für eine abzählbare, lokalendliche Gruppe \(G=\cup_{n\in {\mathbb{N}}}G_ n\) läßt sich der Primidealraum Prim \(C^*(G)\) beschreiben mit Hilfe der Einschränkungsabbildungen der Charaktere von \(G_ n\) auf \(G_{n-1}\) [Verf. und H. Kirchhoff, Arch. Math. 46, 114-117 (1986; Zbl 0565.22006)]. Für die endlichen, linearen Gruppen Gl(n,q) hat J. A. Green die Charaktere bestimmt [Trans. Am. Math. Soc. 80, 402-447 (1955; Zbl 0068.25605)] und E. Thoma die Einschränkungsabbildung [Math. Z. 119, 321-338 (1971; Zbl 0202.026)]. Diese drei Ergebnisse liefern eine Parametrisierung von Prim \(C^*(Gl(\infty,q))\) (Satz 1): \[ \Pr im C^*(Gl(\infty,q))\cong (({\mathbb{F}}_ q^{\times}){\hat{\;}}\times {\mathbb{N}}_ 0)\cup \{\infty \}. \] Es fällt auf, daß dies die gleiche Parametrisierung ist, wie sie H.-L. Skudlarek für die Menge der unzerlegbaren Charaktere E(Gl(\(\infty,q))\) erhalten hat [Math. Ann. 223, 213-231 (1976; Zbl 0313.43010)]. Mit Hilfe der von Green eingeführten Theorie der uniformen Funktionen und Basischaraktere gelingt es zu zeigen, daß die Abbildung von E(Gl(\(\infty,q))\) nach Prim \(C^*(Gl(\infty,q))\), welche einem Charakter den \(C^*\)-Kern der zugehörigen Faktordarstellung zuordnet, eine Bijektion ist (Sätze 2 und 3). Dies steht im krassen Gegensatz zur Situation bei der Gruppe \(S_{\infty}\) der endlichen Permutationen von \({\mathbb{N}}\) [Verf., Arch. Math. 46, 211-215 (1986; Zbl 0565.22005)].
MSC:
22D25 \(C^*\)-algebras and \(W^*\)-algebras in relation to group representations
46L05 General theory of \(C^*\)-algebras
20G05 Representation theory for linear algebraic groups
46H10 Ideals and subalgebras
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Green, J.A.: The characters of the finite general linear groups. Trans. Am. Math. Soc.80, 402-447 (1955) · Zbl 0068.25605
[2] Hall, P.: A contribution to the theory of groups of prime-power order. Proc. Lond. Math. Soc.36, 29-95 (1934) · Zbl 0007.29102
[3] Hauenschild, W., Kirchhoff, H.: Der Raum PrimC * (G) f?r eine abz?hlbare lokal-endliche GruppeG. Arch. Math.46, 114-117 (1986) · Zbl 0565.22006
[4] Hauenschild, W.: Zwei Dualr?ume der unendlichen, symmetrischen Gruppe. Arch. Math.46, 211-215 (1986) · Zbl 0565.22005
[5] Skudlarek, H.-L.: Die unzerlegbaren Charaktere einiger diskreter Gruppen. Math. Ann.223, 213-231 (1976) · Zbl 0325.43014
[6] Thoma, E.: ?ber unit?re Darstellungen abz?hlbarer diskreter Gruppen. Math. Ann.153, 111-138 (1964) · Zbl 0136.11603
[7] Thoma, E.: Die Einschr?nkung der Charaktere von Gl(n,q) auf Gl(n-1,q). Math. Z.119, 321-338 (1971) · Zbl 0205.32602
[8] Zelevinsky, A.V.: Representations of finite classical groups. Lect. Notes Math.869. Berlin Heidelberg New York: Springer 1981 · Zbl 0465.20009
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