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Déformations infinitésimales des structures conformes plates. (Infinitesimal deformations of conformally flat structures). (French) Zbl 0585.53001
Progress in Mathematics, Vol. 52. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser. V, 226 p. DM 70.00 (1984).
Le début d’une nouvelle étape dans l’étude des systèmes d’équations aux dérivées partielles surdéterminées a été marqué par le travail [D. C. Spencer, Ann. Math., II. Ser. 76, 306-445 (1962; Zbl 0124.386)]. En but d’étendre la théorie des déformations des structures complexes à celle des structures définies par les pseudogroupes de Lie, on a introduit dans [K. Kodaira et D. C. Spencer, ibid. 74, 52-100 (1961; Zbl 0123.164)], les outils qui forment la base de l’étude moderne des équations différentielles surdéterminées.
Les déformations infinitésimales d’une structure définie par un pseudogroupe de Lie sur une variété différentiable compacte X ont été interprétées comme les éléments du groupe de cohomologie \(H^ 1(X,\Theta)\) de X, à valeurs dans le faisceau \(\Theta\) des automorphismes infinitésimaux du pseudogroupe.
Dans le livre on donne les notations et les définitions nécessaires concernant la théorie formelle des équations différentielles linéaires (les résolutions du faisceau des solutions d’une équation différentielle formellement intégrable). On fait un rappelle sur les propriétés algébriques de l’opérateur de Killing et de son symbole, on calcule complètement la cohomologie de Spencer de l’algèbre conforme et on montre, au niveau des symboles, l’exactitude de la suite: \[ 0\to {\mathcal S}\to F_ 0\to^{P_ 0}F_ 1\to^{P_ 1}F_ 2\to^{P_ 2}...\to F_{n-1}\quad \to^{P_{n-1}}F_ n\to 0, \] où \({\mathcal S}\) est le faisceau des champs de Killng conformes, \(F_ 0=T\), \(F_ 1=S^ 2_ 0T^*\), \(2P_ 0=\tilde D^ c_ 0\) (l’opérateur de Killing conforme) \(F_ i\) le faisceau des sections du fibré vectoriel \(F_ i\) sur X.
On étudie les opérateurs de courbure et on fait les calculs d’obstruction au relèvement des solutions formelles de l’opérateur de Killing conforme. On construit une résolution du faisceau des champs de Killing conformes d’un espace conformément plat et on calcule la caractéristique d’Euler-Poincaré de X, à valeurs dans \({\mathcal S}.\)
A l’aide de la structure d’algèbre sur \(\Lambda T^*\otimes \Lambda T^*\) et des formules algébriques, on identifie le fibré \(E^ c_ j\) au sous-fibré \(F_ j\) de \(\Lambda^{j+1}T^*\otimes \Lambda^ 2T^*\). Si X est orienté, l’on déduit l’isomorphisme *: \(F_ j\to F_{n-j}\), induit par l’isomorphisme *: \(\Lambda^{j+1}T^*\to \Lambda^{n-j-1}T^*\) de Hodge. On étudie les opérateurs différentiels du complexe et l’invariance conforme du complexe. On introduit les Laplaciens et on montre l’exactité du complexe adjoint et le théorème de dualité. On généralise ce théorème au cas des variétés conformément plates qui ne sont pas orientées. Pour une variété à courbure constante, on donne une construction du complexe et une démonstration de son exactitude. On calcule la cohomologie \(H^*(X,{\mathcal S})\), lorsque (X,g) est un tore plat. Présentation graphique excellente.
Reviewer: V.Obădeanu

MSC:
53-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to differential geometry
53C20 Global Riemannian geometry, including pinching
58H10 Cohomology of classifying spaces for pseudogroup structures (Spencer, Gelfand-Fuks, etc.)
58H15 Deformations of general structures on manifolds
35N10 Overdetermined systems of PDEs with variable coefficients