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Locally conformal symplectic manifolds. (English) Zbl 0585.53030

Une variété localement conformément symplectique (v.l.c.s.) est un couple (M,\(\Omega)\), où M est une variété différentiable connexe et \(\Omega\) une 2-forme t.q. \(d\Omega =\omega \wedge \Omega\), avec la 1- forme \(\omega\) fermée (presque symplectique spéciale) [H. C. Lee, Am. J. Math. 65, 433-438 (1943; Zbl 0060.383)]. En écriture locale \(\Omega /U_{\alpha}=e^{\sigma_{\alpha}}\Omega_{\alpha},\quad \sigma_{\alpha}: U_{\alpha}\to {\mathbb{R}},\quad d\Omega_{\alpha}=0.\) Une v.l.c.s. peut être considérée comme l’espace des phases généralisé d’un système dynamique hamiltonien.
Le travail considère des champs de vecteurs hamiltoniens et des automorphismes infinitésimales (a.i.) sur v.l.c.s. Si (M,\(\Omega)\) a un a.i. X, t.q. \(\omega\) (X)\(\neq 0\), alors \(\Omega =d\theta -\omega \wedge \theta\), M est une variété 2-contact ayant les formes de structure (\(\omega\),\(\theta)\), et admet un feuilletage vertical V 2-dimensionnel. Si V est régulier alors M est un fibré \(T^ 2\)-principal sur une variété symplectique; si M est v.l.c.s. homogène, alors V est régulier et on obtient une construction de la v.l.d.s. homogène compacte. On donne certains résultats géométriques t.q. le théorème de réduction pour les algèbres de Lie des a.i.; en suivant la méthode de démonstration de la géométrie symplectique et de contact.
Reviewer: V.Obădeanu

MSC:

53C15 General geometric structures on manifolds (almost complex, almost product structures, etc.)
53D50 Geometric quantization

Citations:

Zbl 0060.383
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Full Text: DOI EuDML