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Sur la structure des espaces de L. S. catégorie deux. (On the structures of the spaces of L. S. category two). (French) Zbl 0585.55010
La catégorie de Lyusternik-Schnirelmann d’un espace topologique S, notée cat S, est le plus petit entier m tel que m puisse être recouvert par \(m+1\) ouverts contractiles dans S. La LS catégorie rationnelle, notée \(cat_ 0 S\), est la LS catégorie du rationnalisé \(S_ 0\) de S. Nous avons la relation \(cat_ 0 S\leq cat S.\)
Le but de cet article est l’étude de la structure de l’algèbre de Lie \(\pi(\Omega S)\otimes {\mathbb{Q}}\) lorsque S est un espace 1-connexe vérifiant \(cat_ 0 S=2\). Nous démontrons en particulier qu’un espace S de LS catégorie rationnelle 2 a le type d’homotopie rationnelle de la cofibre d’une application f entre deux bouquets de sphères \(W_ 1\to^{f}W_ 2\to^{g}S\) telle que l’application induite par g en homologie sphérique soit bijective.
En considérant le CW complexe relatif \((\hat S,S)\) obtenu de manière à rendre g surjectif en homotopie, nous démontrons le théorème de structure suivant: Si \(\dim \pi(S)\otimes {\mathbb{Q}}=\infty\), alors (a) si \(S\neq \hat S\) alors \(\pi(\Omega S)\otimes {\mathbb{Q}}\) est une algèbre de Lie semi-simple et un produit semidirect de \(\pi(\Omega \hat S)\otimes {\mathbb{Q}}\) par une algèbre de Lie libre à au moins quatre générateurs, - (b) si \(S=\hat S\) alors tout idéal résoluble de \(\pi(\Omega S)\otimes {\mathbb{Q}}\) est une algèbre de Lie libre à un seul générateur.

MSC:
55P62 Rational homotopy theory
55M30 Lyusternik-Shnirel’man category of a space, topological complexity à la Farber, topological robotics (topological aspects)
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