×

zbMATH — the first resource for mathematics

Jacobiformen und Thetareihen. (Jacobi forms and theta series). (German) Zbl 0588.10024
Die zu besprechende Arbeit setzt die Untersuchungen von M. Eichler und D. Zagier [The theory of Jacobi forms (Prog. Math. 55) (1985; Zbl 0554.10018)] über Jacobiformen fort. In Teil I wird eine (über Differentialoperatoren definierte) injektive Abbildung \(J_{k,m}(\Gamma) \to \oplus^{m}_{\nu =0}M_{k+2\nu}(\Gamma)\) studiert \((J_{k,m} =\) Raum der Jacobiformen vom Gewicht k und Index m, \(M_{k,\ell} =\) Raum der Modulformen vom Gewicht \(\ell).\)
Es wird ein lineares Gleichungssystem angegeben, dem ein \((m+1)\)-Tupel aus \(\oplus^{m}_{\nu =0}M_{k+2\nu}(\Gamma)\) genügen muß, um im Bild obiger Abbildung zu liegen. Aus dieser Untersuchung zieht der Verf. interessante Konsequenzen: Zum einen ergeben sich Aussagen über die Erzeugbarkeit von \(J_{k,m}(\Gamma)\) durch Jacobiformen mit rationalen bzw. ganzrationalen Fourierkoeffizienten. Zum anderen erhält man schöne Dimensionsformeln wie \(\dim J_{k,m}(\Gamma_ 0(q))=\dim M_{2k-2}(\Gamma_ 0(q))\) für ungerade Primzahlen q.
Wichtige Beispiele für Jacobiformen sind bekanntlich die Jacobi- Thetareihen. In Teil II seiner Arbeit behandelt der Verf. den Fall der Jacobi-Thetareihen zu quaternären positiv definiten quadratischen Formen der Diskriminante \(q^ 2\), welche die 2 ganzzahlig darstellen. Diese Reihen spannen einen interessanten (im allgemeinen echten) Teilraum von \(J_{2,1}(\Gamma_ 0(q))\) auf. Es wird gezeigt, daß dieser Teilraum unter Heckeoperatoren invariant bleibt, und es wird ein (hinreichendes) Kriterium für die lineare Unabhängigkeit dieser Jacobi-Thetareihen bewiesen.
Reviewer: S.Böcherer

MSC:
11F50 Jacobi forms
11F27 Theta series; Weil representation; theta correspondences
11E45 Analytic theory (Epstein zeta functions; relations with automorphic forms and functions)
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
References:
[1] M.Eichler; Quadratische Formen und orthogonale Gruppen, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen Band 63, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, 1974 (2.Auflage)
[2] M.Eichler; Einführung in die Theorie der algebraischen Zahlen und Funktionen, Birkhäuser-Verlag Basel und Stuttgart, 1963 · Zbl 0152.19501
[3] M.Eichler; Zur Zahlentheorie der Quaternionen-Algebren, J.reine angew.Math. 195 (1955), 127-151 · Zbl 0068.03303 · doi:10.1515/crll.1955.195.127
[4] M.Eichler; Ueber die Darstellbarkeit von Modulformen durch Thetareihen, J.reine angew.Math. 195 (1955), 156-171 · Zbl 0068.29303 · doi:10.1515/crll.1955.195.156
[5] M.Eichler; The basis problem for modular forms and the traces of the Hecke operators, in: Modular Functions of One Variable I, Lecture Notes in Math. 320, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York 1973, 75-151
[6] M.Eichler; Eine neue Klasse von Modulformen und Modulfunktionen, erscheint in Abh.Hamb.
[7] M.Eichler and D.Zagier; On the theory of Jacobi forms I, to appear in Progress in Math., Birkhäuser-Verlag Boston-Basel-Stuttgart, 1984
[8] B.Gross; Heights and the special values of L-series, to appear in Sém.Math.Sup., Presses Univ.Montréal
[9] W.Kohnen; Modular forms of half-integral weight on ?o(4), Math. Ann. 248 (1980), 249-266 · Zbl 0422.10015 · doi:10.1007/BF01420529
[10] W.Kohnen; Newforms of half-integral weight, J.reine angew.Math. 333 (1982), 32-72 · Zbl 0475.10025 · doi:10.1515/crll.1982.333.32
[11] P.Ponomarev; A correspondence between quaternary quadratic forms, Nagoya Math.J. 62 (1976), 125-140 · Zbl 0314.10014
[12] P.Ponomarev; Ternary quadratic forms and an explicit quaternary correspondence, Proceedings of the Conference on Quadratic Forms, Queen’s Papers in Pure and Applied Mathematics, No.46 (1977), 582-594 · Zbl 0381.10015
[13] P.Ponomarev; Ternary quadratic forms and Shimura’s correspondence, Nagoya Math.J. 81 (1981), 123-151 · Zbl 0452.10030
[14] J.-P.Serre and H. M.Stark; Modular forms of weight 1/2, in: Modular Functions of One Variable VI, Lecture Notes in Math. 627, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York 1977, 27-67
[15] G.Shimura; Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Princeton University Press, 1971 · Zbl 0221.10029
[16] G.Shimura; On modular forms of half-integral weight, Ann. of Math. 97 (1973), 440-481 · Zbl 0266.10022 · doi:10.2307/1970831
[17] M.-F.Vignéras, Arithmétique des Algèbres de Quaternions, Lecture Notes in Math. 800, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, 1980
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.