Arakelov’s theorem for abelian varieties. (English) Zbl 0588.14025

Faltings, G.

Invent. Math. 73, 337-347 (1983).

Sei \(B\) eine zusammenhängende glatte vollständige algebraische Kurve über \(\mathbb C\), und \(S\) eine endliche Menge von Punkten von \(B\). S. Yu. Arakelov [Math. USSR, Izv. 5 (1971), 1277–1302 (1972); Übersetzung von Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 35, 1269–1293 (1971; Zbl 0238.14012)] hat gezeigt, daß es nur endlich viele nicht isotriviale (d.i., auch über endlichen Überlagerungen von \(B\) nie konstante) Familien von Kurven über \(B\) mit vorgegebenem Geschlecht \(g\) und guter Reduktion außerhalb \(S\) gibt (Shafarevich-Vermutung über \(B\)).
In der vorliegenden Arbeit wird die analoge Aussage für Familien prinzipal polarisierter abelscher Varietäten \(X\to B-S\) von relativer Dimension \(g\) unter der (notwendigen) Bedingung bewiesen, daß sich die Endomorphismen von \(X\) einfach Hodge-theoretisch beschreiben lassen (Bedingung ”(*)”). Im letzten Abschnitt wird ein Beispiel einer nicht konstanten Familie \(X\) über einer Modulkurve konstruiert, die (*) verletzt.
Die Beweismethoden sind angeregt von Arakelov’s Ansatz und Deligne’s Hodge-Theorie [P. Deligne, Publ. Math., Inst. Haut. Étud. Sci. 40, 5–57 (1971; Zbl 0219.14007)], enthalten aber für den heutigen Leser schon eine Ahnung der Techniken, die der Autor wenig später für den Zahlkörperfall ausbauen konnte [Invent. Math. 73, 349–366 (1983; Zbl 0588.14026)].

Reviewer: N.Schappacher

MSC:

14K15	Arithmetic ground fields for abelian varieties
14G05	Rational points
14G15	Finite ground fields in algebraic geometry
11G10	Abelian varieties of dimension \(> 1\)

Keywords:

finiteness of the number of families of principally polarized abelian varieties; Tate conjecture; Shafarevich conjecture

Citations:

Zbl 0588.14026; Zbl 0248.14004; Zbl 0238.14012; Zbl 0219.14007

References:

[1]	Arakelov, S.: Families of curves with fixed degeneracy. Izv. Akad. Nauk.35, 1269-1293 (1971)
[2]	Ash, A., Mumford, D., Rapoport, M., Tai, Y.: Smooth compactification of Locally Symmetric Varieties. Math. Sci. Press, Brooklin (1975) · Zbl 0334.14007
[3]	Baily, W.L., Borel, A.: Compactification of arithmetic quotients of bounded symmetric domains. Ann. of Math.84, 442-528 (1966) · Zbl 0154.08602 · doi:10.2307/1970457
[4]	Deligne, P.: Théorie de Hodge II. Publ. Math.40, 5-58 (1971) · Zbl 0219.14007
[5]	Mumford, D.: Hirzebruch’s proportionality theorem in the non-compact case. Invent. math.42, 239-272 (1977) · Zbl 0365.14012 · doi:10.1007/BF01389790
[6]	Schmid, W.: Variation of hodge structure: The singularities of the period mapping. Invent. math.22, 211-319 (1973) · Zbl 0278.14003 · doi:10.1007/BF01389674
[7]	Szpiro, L.: Sur le theorème de rigidité d’Arakelov et Parsin. Astérisque,64, 169-202 (1979) · Zbl 0425.14005