×

zbMATH — the first resource for mathematics

A reproducing kernel. (English) Zbl 0589.32009
L’A. se propose d’étendre la méthode de S. Bochner [Ann. Math. 45, 686-707 (1944; Zbl 0060.243)] qui a étudié dans l’espace \(H^ 2\) de Hardy un domaine du type I de Siegel - un tube sur un cône régulier - et mentionne d’autres recherches, dûes à Korányi-Stein et Vági. Les données sont les suivantes: un domaine \(D\subset {\mathbb{C}}^{\ell}\times {\mathbb{C}}^ m\) de Siegel du type II déterminé par 1) un cône régulier \(V\subset {\mathbb{R}}^{\ell}\), 2) une forme V- hermitienne \(F: {\mathbb{C}}^ m\times {\mathbb{C}}^ m\to {\mathbb{C}}^{\ell}\) (douée par la propriété cruciale \(F(z_ 1,z_ 1)\in V\), \(F(z_ 1,z_ 1)=0\) si \(z_ 1=0)\), avec la définition conditionnelle \(z=(z_ 1,z_ 2)\in D\), si \(y_ 1-F(z_ 2,z_ 2)\in V,\) les éléments de \({\mathbb{C}}^{\ell}\) étant notés avec \(z_ 1=x_ 1+iy_ 1\) et ceux de \({\mathbb{C}}^ m\), \(x_ 2+iy_ 2=z_ 2\). Si \(m=0\), apparaît un domaine dénommé de Siegel du type I \((=un\) tube sur V) et par \(\omega\) une fonction quelconque définie dans V, positive. Si \(f=f(z)\) (avec \(z=(z_ 1,z_ 2))\) définit une fonction holomorphe dans D, alors l’espace de Bergman \(A_ 2(\omega)\) correspond à la norme \[ \| f\|^ 2=\int \int \int \int_ D| f(z)|^ 2\omega (y_ 1-F(z_ 2,z_ 2))dx_ 1dx_ 2dy_ 1dy_ 2. \] Exemples suivent, concernant des espaces de Bergman sur des domaines de Siegel du type II, ainsi que pour des représentations spectrale du type II, de Parseval.
Reviewer: R.Bădesco
MSC:
32A25 Integral representations; canonical kernels (Szegő, Bergman, etc.)
32A07 Special domains in \({\mathbb C}^n\) (Reinhardt, Hartogs, circular, tube) (MSC2010)
32M15 Hermitian symmetric spaces, bounded symmetric domains, Jordan algebras (complex-analytic aspects)
Citations:
Zbl 0060.243
PDF BibTeX XML Cite