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Caractérisation des automorphismes analytiques d’un domaine convexe borné. (Characterization of biholomorphic automorphisms of a bounded convex domain). (French) Zbl 0589.32042
Henri Cartan a montré, en 1932, le théorème suivant: Soit D un domaine borné de \({\mathbb{C}}^ n\), soit a un point de D, et soit \(f: D\to D\) une application holomorphe telle que \(f(a)=a\). Pour que f soit un automorphisme analytique de D, il faut et il suffit que le déterminant jacobien de f au point a soit de module 1.
Si on ne suppose plus que f admet un point fixe, la question est beaucoup plus délicate, et la valeur du jacobien n’a pas de signification géométrique. Dans cet article, on montre le résultat suivant: Soit D un domaine borné convexe de \({\mathbb{C}}^ n\), soit a un point de D, et soit \(f: D\to D\) une application holomorphe. Supposons que f’(a) soit une isométrie pour les métriques infinitésimales de Carathéodory \(E_ D(a,.)\) et \(E_ D(f(a),.)\). Alors f est un automorphisme analytique de D.
Pour montrer ce résultat, on montre que, si \(\phi\) : \(\Delta\) \(\to D\) est une géodésique complexe passant par a, \(f\circ \phi\) est une géodésique complexe passant par f(a). Ceci montre que, \(\forall z\in D\), \(c_ D(f(a),f(x))=c_ D(a,x).\) Ainsi, f est une application holomorphe propre, et le résultat s’en déduit facilement.

MSC:
32F45 Invariant metrics and pseudodistances in several complex variables
32M05 Complex Lie groups, group actions on complex spaces
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