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Points fixes d’applications holomorphes dans un domaine borné convexe de \({\mathbb{C}}^ n\). (Fixed points of holomorphic mappings in a bounded convex domain of \({\mathbb{C}}^ n)\). (French) Zbl 0589.32043
Soit D un domaine borné convexe de \({\mathbb{C}}^ n\). On déduit d’un théorème de Lempert, Royden et Wong, sur l’égalité des distances de Carathéodory et de Kobayashi sur D l’existence de géodésiques complexes dans D, c’est-à-dire d’applications holomorphes \(\phi\) : \(\Delta\) \(\to D\) du disque-unité \(\Delta\) dans D qui sont des isométries pour \(c_{\Delta}\) et \(c_ D\). On montre alors les résultats suivants: Soit D un domaine borné convexe de \({\mathbb{C}}^ n\), et soit \(f: D\to D\) une application holomorphe. Etant donnés deux points fixes a et b de D, il existe une géodésique complexe \(\phi\) : \(\Delta\) \(\to D\) passant par a et b et telle que \(\phi\) (\(\Delta)\) soit contenu dans l’ensemble V des points fixes de f. De même, si \(f(a)=a\) et \(f'(a)\cdot v=v\), alors il existe une géodésique complexe \(\phi\) : \(\Delta\) \(\to D\) passant par a, telle que son vecteur tangent en ce point soit collinéaire à v et que \(\phi\) (\(\Delta)\) soit contenu dans V. Ces résultats montrent que l’ensemble V des points fixes de f est une sous-variété connexe de D. Une assez longue étude montre alors que, si V est non vide, V est rétracte holomorphe de D. On étudie alors quelques exemples et applications.

MSC:
32F45 Invariant metrics and pseudodistances in several complex variables
58C30 Fixed-point theorems on manifolds
32H99 Holomorphic mappings and correspondences
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