Feit, Paul Poles and residues of Eisenstein series for symplectic and unitary groups. (English) Zbl 0591.10017 Mem. Am. Math. Soc. 346, 89 p. (1986). Verf. setzt Untersuchungen Shimuras fort, der in mehreren Arbeiten (nicht-analytische) Eisensteinreihen zur symplektischen Gruppe eines total-reellen Zahlkörpers und zu einer unitären Gruppe eines CM- Körpers behandelt hatte [Math. Ann. 260, 269-302 (1982; Zbl 0502.10013); Duke Math. J. 50, 417-476 (1983; Zbl 0519.10019)]. Für eine derartige Eisensteinreihe E(z,s) vom Gewicht k werden drei Probleme behandelt: (1) Bestimmung der Pole von E(z,s) (als Funktion von s) und ihrer Ordnungen; (2) Bestimmung der Werte von s, für die E(z,s) (oder das Residuum) analytisch in z ist; (3) Bestimmung des Körpers der Fourierkoeffizienten von E(z,s) für die Werte von s, für die E(z,s) analytisch in z ist. Shimura hatte in der zweiten der oben zitierten Arbeiten für ganzzahliges Gewicht k bereits weitgehende Ergebnisse erzielt. Eine zentrale Rolle spielte hierbei die möglichst explizite Bestimmung der Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihe. Shimura hatte vermutet, daß sich die Faktoren eines in diesen Fourierkoeffizienten auftretenden Eulerproduktes in spezieller Weise als rationale Funktionen mit genau angebbarem Nenner darstellen lassen (Conjecture 6.3, S. 451, in der zweiten zitierten Arbeit) und eine Reihe von Sätzen unter der Voraussetzung der Gültigkeit dieser Vermutung bewiesen. Ein Beweis von Shimuras Vermutung für den Sonderfall der symplektischen Gruppe gelang wenig später Y. Kitaoka [Nagoya Math. J. 95, 73-84 (1984; Zbl 0551.10025)]. Eines der Hauptergebnisse der vorliegenden Arbeit ist der Beweis von Shimuras Vermutung im allgemeinen Fall und zwar nicht nur in der ursprünglichen Form für ganzzahliges Gewicht sondern auch für Eisensteinreihen halbzahligen Gewichts, worauf sich eine weitere Arbeit Shimuras über Eisensteinreihen halbzahligen Gewichts stützt [Duke Math. J. 52, 281-314 (1985; Zbl 0577.10025)]. In diesem Zusammenhang sei noch auf eine darauf folgende Arbeit Shimuras über den Spezialfall der Eisensteinreihen ganzzahligen und halbzahligen Gewichts zur Hilbertschen Modulgruppe hingewiesen [Rev. Mat. Iberoamericana 1, No.3, 1-42 (1985)]. Reviewer: K.-B.Gundlach Cited in 1 ReviewCited in 25 Documents MSC: 11F27 Theta series; Weil representation; theta correspondences Keywords:Eisenstein series; poles; residues; Fourier coefficients; Shimura; conjecture; integral weight; half-integral weight Citations:Zbl 0502.10013; Zbl 0519.10019; Zbl 0551.10025; Zbl 0577.10025 PDFBibTeX XMLCite \textit{P. Feit}, Poles and residues of Eisenstein series for symplectic and unitary groups. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS) (1986; Zbl 0591.10017) Full Text: DOI