×

zbMATH — the first resource for mathematics

Poles of p-adic complex powers and Newton polyhedra. (English) Zbl 0591.14016
Groupe Étude Anal. Ultramétrique, 12e année 1984/85, No. 1, Exposé No. 17, 3 p. (1985).
Seien p eine Primzahl, \({\mathbb{Z}}_ p\) der Ring der p-adischen ganzen Zahlen, \({\mathbb{Q}}_ p\) der Körper der p-adischen Zahlen. Für \(f\in {\mathbb{Q}}_ p[x_ 1,...,x_ m]\) und eine lokal konstante Funktion \(\phi\) mit kompaktem Träger auf \({\mathbb{Q}}^ m_ p\) wird die ”p-adische komplexe Potenz von f” (bzgl. \(\phi)\) definiert durch \[ Z_ f(s,\phi):=\int_{{\mathbb{Q}}^ m_ p}| f(x)|^ s\phi (x)| dx|, \] wobei s eine komplexe Zahl mit \(Re(s)>0\) ist, \(| \quad |\) den p-adischen Absolutbetrag bezeichnet und \(| dx|\) das Haarmaß von \({\mathbb{Q}}^ m_ p\) ist, so daß \({\mathbb{Z}}^ m_ p\) das Maß Eins hat. Für \(f=\sum_{n\in {\mathbb{N}}}a_ nz^ n\quad mit\) \(f(0)=0\) und \((\partial f/\partial x_ i)(0)=0\) für \(i=1,...,m\) bezeichnet \(\Gamma\) (f) das Newtonpolygon von f. Sei \(\sigma\) eine Seite von \(\Gamma(f)\), die in der Hyperebene \(b_ 1x_ 1+...+b_ mx_ m=N\) liegt, wobei \(b_ i\), \(N\in {\mathbb{N}}\) und \(ggT(b_ 1,...,b_ m,N)=1\) gelten, sowie \(N(\sigma):=N\), \(\gamma(\sigma):=b_ 1+...+b_ m\) und \(f_{\sigma}:= \sum_{n\in \sigma}a_ nx^ n.\quad f\) heißt nichtausgeartet bzgl. des Newtonpolygons, falls für jede kompakte Seite \(\sigma\) des Newtonpolygons von f die Gleichungen \((\partial f_{\sigma}/\partial x_ 1)(x)=...=(\partial f_{\sigma}/\partial x_ m)(x)=0\) implizieren, daß mindestens eine Komponente von x gleich Null ist. Falls der Träger von \(\phi\) in einer hinreichend kleinen Umgebung von Null liegt und falls f nichtausgeartet bzgl. des Newtonpolygons ist, so behaupten die Autoren:
Theorem 1. Wenn s eine Polstelle von \(Z_ f(s,\phi)\) ist, dann gilt entweder \(s=1\) oder \(s=-\nu (\sigma)/N(\sigma)+(2\pi i/\log p)\cdot (k/N(\sigma))\) für eine geeignete Seite \(\sigma\) von \(\Gamma(f)\) und eine ganze Zahl k. - \(Theorem\quad 2.\) Eine Seite \(\sigma\) von \(\Gamma(f)\) sei eine Pyramide, deren Basis in einer der Koordinatenhyperebenen liegt und deren Spitze den \(Abs\tan d\quad 1\) von dieser Hyperebene hat. Es wird angenommen, daß \(\nu(\sigma)/N(\sigma)\neq 1\) gilt und daß keine weitere Seite \(\sigma_ 1\) existiert mit \(\nu (\sigma_ 1)/N(\sigma_ 1)=\nu (\sigma)/N(\sigma)\). Dann gibt es keine Polstelle s von \(Z_ f(s,\phi)\) mit \(Re(s)=-\nu (\sigma)/N(\sigma)\).
Reviewer: A.Duma

MSC:
14G20 Local ground fields in algebraic geometry
Full Text: Numdam EuDML