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Preuve des conjectures de Tate et de Shafarevitch [D’après G. Faltings]. (Proof of the conjecture of Tate and Shafarevich [After G. Faltings]). (French) Zbl 0591.14026
Sémin. Bourbaki, 36e année, Vol. 1983/84, Exp. 616, Astérisque 121/122, 25-41 (1985).
[For the entire collection see Zbl 0542.00005.]
Dies ist ein konziser, detailreicher Bericht über die von Faltings in seinem Beweis der Mordellschen Vermutung entwickelten Methoden [Inventiones 73, 349-366 (1983; Zbl 0588.14026)].
Im § 1 wird Faltings’ Begriff der Höhe einer abelschen Varietät über einem Zahlkörper eingeführt und die entscheidende Höheneigenschaft bewiesen: Gegeben ein Zahlkörper k, natürliche Zahlen g und d, und eine Konstante c, so gibt es nur endlich viele Isomorphieklassen abelscher Varietäten A der Dimension g mit Polarisierung des Grades d über k, deren Höhe h(A)\(\leq c\) ist. Die Darstellung ist ausführlicher als bei Faltings, und das Beispiel der elliptischen Kurven wird explizit behandelt. §§ 2,3 enthalten Faltings’ Beweise der Tate-Vermutung für die Endomorphismen abelscher Varietäten über Zahlkörpern, für die Endomorphismen abelscher Varietäten über Zahlkörpern, bzw. der Shafarevich-Vermutung. Hier lehnt sich die Darstellung recht eng an Faltings’ Originalarbeit an.
Reviewer: N.Schappacher

MSC:
14K15 Arithmetic ground fields for abelian varieties
14G05 Rational points
14G25 Global ground fields in algebraic geometry
14H52 Elliptic curves
14H45 Special algebraic curves and curves of low genus