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Sur le théorème de semi-continuité de l’irrégularité des équations différentielles. (On the semi-continuity theorem of irregularity of differential equations). (French) Zbl 0592.32009
Systèmes différentiels et singularités, Colloq. Luminy/France 1983, Astérisque 130, 365-417 (1985).
[For the entire collection see Zbl 0559.00004.]
1) Gegeben sei eine Garbe \({\mathcal F}\) über einer Mannigfaltigkeit X, die außerhalb einer Ausnahmemenge \(Y\subset X\) ”hinreichend trivial” ist. Gesucht sind Formeln, welche die Eulercharakteristik von \({\mathcal F}\) zu berechnen erlauben mit Hilfe der Charakteristik über U (und damit mit \(\chi\) (U)) und gewissen Irregularitäten \(\phi\) (\({\mathcal F})\) über der ”Irregularitätsmenge” Y von \({\mathcal F}\). 2) Diese Beziehungen möchte man auf den relativen Fall \(f: X\to S\), \(Y\subset X\), \({\mathcal F}\) auf X, ausdehnen mit seiner Familie der \(Y_ s:=f^{-1}(s)\cap Y\subset X_ s:=f^{-1}(s),\) \({\mathcal F}(s):={\mathcal F}_{X_ s}\), \(s\in S\). Insbesondere interessiert das Verhalten der Abbildung \(s\to \phi (s):=\phi ({\mathcal F}_ s),\) so die genauere Gestalt von \(\phi (s)-\phi (s_ 0)\) für s nahe bei einem fixierten \(s_ 0\in S.\)
Für den Fall einer Kurve X und sehr spezielle Garben \({\mathcal F}\) beschreibt im p-adischen Fall \((p>0)\) unter 1) die sog. Grothendieck-Ogg- Šafarevič-Formel eine gesuchte Beziehung, unter 2) ist es ein Resultat von Deligne (wobei \(f: X\to S\) 1-dimensionale Fasern habe und geeignet ”gut” ist).
In der vorliegenden Note interessieren Analoga für den complex- analytischen Fall und ganz bestimmte kohärente Differentialoperatoren- Garben \({\mathcal F}\). So geht es hier um Lösungen von Differentialoperatoren. Allerdings müssen die im p-adischen Fall auftretenden Daten, wie \(\phi\) (\({\mathcal F})\) bzw. \(\phi\) (s) (i.w. Swan- Konduktor) anders festgelegt werden (i.w. Irreduzibilitätszahlen von Malgrange). Neu tritt auch der höhere Extfunktor \(Ext^ 2\) bei der Beschreibung auf (wie auch an Beispielen explizit deutlich gamacht wird). Aufgrund dieser neuen Daten läßt sich die Idee des p-adischen Beweises nicht übertragen. Der Autor führt seinen Beweis mit Hilfe einer für seinen Fall ausgeweiteten Theorie ”cycles évanescents”. In einem Brief an den Autor hat Malgrange einen ”direkten” Beweis vorgeschlagen, der als Alternative in die Note mit aufgenommen wurde.
Reviewer: K.Spallek

MSC:
32C35 Analytic sheaves and cohomology groups
30F99 Riemann surfaces
14F10 Differentials and other special sheaves; D-modules; Bernstein-Sato ideals and polynomials
35A10 Cauchy-Kovalevskaya theorems
35A20 Analyticity in context of PDEs