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Pseudo-coefficients et cohomologie des groupes de Lie réductifs réels. (Pseudo-coefficients and cohomology of real reductive Lie groups). (French) Zbl 0593.22010
Es bedeute G eine reelle reduktive Liegruppe mit geeigneten zusätzlichen Eigenschaften, K eine maximale kompakte Untergruppe von G, und \(\delta_ 0\) sei eine Darstellung aus der diskreten Reihe von G. Dann gibt es differnzierbare zweiseitig K-invariante Funktionen f auf G mit kompaktem Träger, so daß Spur \(\delta\) \({}_ 0(f)=1\), aber Spur \(\pi\) \({}_{\delta,\lambda}(f)=0\) für jede von \(\delta_ 0\) verschiedene ”basische” Darstellung \(\pi_{\delta,\lambda}\) von G. Unter spezielleren Voraussetzungen haben die Autoren diesen Satz in einer früheren Note bewiesen [ibid. 300, 331-333 (1985; s. das vorangehende Referat)].
Hieraus leiten sie folgenden Satz her: Es sei \(H^ i({\mathfrak g},{\mathfrak k};\pi)\) die i-te Kohomologiegruppe des (\({\mathfrak g},{\mathfrak k})\)-Moduls \(\pi\) und ep(\({\mathfrak g},{\mathfrak k};\pi)=\sum_{i\geq 0}(-1)^ i\cdot \dim H^ i({\mathfrak g},{\mathfrak k};\pi)\) die zugehörige Euler-Poincaré- Charakteristik. Für jede endlichdimensionale Darstellung \(\xi\) von G gilt dann:
(1) Hat G keine diskrete Reihe, so ist ep(\({\mathfrak g},{\mathfrak k};\pi \otimes \xi)=0\) für jeden (\({\mathfrak g},{\mathfrak k})\)-Modul \(\pi\) endlicher Länge;
(2) Hat G eine diskrete Reihe, so gibt es eine von \(\xi\) abhängende differenzierbare zweiseitig K-invariante Funktion f auf G, so daß für jeden (\({\mathfrak g},{\mathfrak k})\)-Modul \(\pi\) endlicher Länge ep(\({\mathfrak g},{\mathfrak k};\pi \otimes \xi)=Spur \pi (f)\).
Reviewer: H.S.Holdgrün

MSC:
22E46 Semisimple Lie groups and their representations
22E41 Continuous cohomology of Lie groups
17B56 Cohomology of Lie (super)algebras
22E30 Analysis on real and complex Lie groups
22D30 Induced representations for locally compact groups
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