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Injectivité de la transformation obtenue par intégration sur les cycles analytiques. A.-Cas d’une variété Kählérieene compacte. (Injectivity of the transformation obtained by integration on analytic cycles. A. The case of a compact Kählerian manifold). (French) Zbl 0593.32005

Fonctions de plusieurs variables complexes V, Sémin. F. Norguet, Paris 1979-1985, Lect. Notes Math. 1188, 183-189 (1986).
[For the entire collection see Zbl 0579.00006.]
[The review includes also part B and C of the paper in ibid., 190-200 and 201-227, respectively (1986; see the following two articles)].
Soient Y une variété analytique complexe, q un entier et W un ouvert de l’espace \(C^+_ q(Y)\) des cycles analytiques compacts de dimension dans Y. Pour \(\phi\) forme différentielle de type (q,q), l’intégration sur les éléments de W fournit une fonction \(\rho_ w(\phi)\) sur W. Les courants d’intégration sur les éléments de \(C^+_ q(Y)\) étant d-fermés, \(\rho_ w(\phi)\) est nul pour \(\phi \in Im d'+Im d''.\) On étudie l’ensemble des \(\phi\) tels que \(\rho_ w(\phi)=0\), plus précisément on considère deux problèmes:
En se restreignant aux formes d”-fermées \((\rho_ w(\phi)\) est alors holomorphe) et en passant au quotient par \(Im d''\) on a un complexe \(H^ q(Y,\Omega^{q-1})\to^{d}H^ q(Y,\Omega^ q)\to^{\rho_ w}H^ 0(W,{\mathcal O})\) dont il s’agit d’étudier l’homologie.
En se restreignant aux formes d’d”-fermées \((\rho_ w(\phi)\) est alors pluriharmonique) et en passant au quotient par \(Im d'+Im d''\) on obtient l’application \(V^{qq}(Y)\to^{\rho_ w}H^ 0(W,{\mathcal H})\) dont il s’agit d’étudier le noyau.
A. Andreotti et F. Norguet ont montré [Ann. Sc. Norm. Super., Pisa, Cl. Sci., IV. Ser. 25, 59-114 (1971; Zbl 0212.537)], pour Y ouvert q pseudo-convexe, complémentaire dans une variété algébrique d’une sous-variété de codimension \(q+1\), que ces espaces sont de dimension finie. D. Barlet [Lect. Notes Math. 409, 98-123 (1974; Zbl 0307.32008)] et H. Krebs [Lect. Notes Math. 482, 216-250 (1975; Zbl 0336.32021), et C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. A 280, 657-659 (1975; Zbl 0302.32012)] ont prouvé la nullité de ces espaces lorsque Y est le complémentaire dans \({\mathbb{P}}_ n({\mathbb{C}})\) d’un \({\mathbb{P}}_ k\) ou même d’un tube autour de \({\mathbb{P}}_ k\) et \(q=n-k-1.\)
Dans une série de trois articles l’A. étudie successivement les cas suivants:
A) Y kählérienne compacte, W composante connexe de \(C^+_ q(Y)\). Dans ce cas \(H^ q(Y,\Omega^ q)=V^{qq}(Y),\) les deux problèmes se confondent. \(Ker \rho_ w\) est un hyperplan \((\rho_ w(\phi)\) est constante) et il en déduit des conditions suffisantes de nullité pour \(Ker \rho_ 0\) (en particulier pour Y algébrique projective) \((\rho_ 0=\rho_ w\) avec \(W'=C^+_ q(Y)).\)
B) et C) \(Y=Z-X\) avec Z variété algébrique projective, X sous- variété intersection complète de codimension \(q+1\) et W est la composante des cycles linéaires (pour un plongement de Z dans un projectif) contenus dans Y. L’A montre que les éléments de Ker \(\rho\) \({}_ w\) proviennent (modulo Im d’\(+Im d'')\) de \(V^{qq}(Z)=H^ q(Z,\Omega^ q)\) et forment un hyperplan de cet espace. Il en déduit des conditions suffisantes d’injectivité pour \(\rho_ w\) et \(\rho_ 0\) dans le deuxième problème. Le cas B correspond à \(X=\{x_ 0\}\); les méthodes utilisent la cohomologie à support dans \(\{x_ 0\}\) et un lemme dû à A. Andreotti et F. Norguet. L’A. étudie dans ce cas le premier problème sous l’hypothèse \(H^ 0(Z,\Omega^ 2)=0\). Le cas C utilise une représentation des groupes \(V^{qq}(Y)\) comme groupe de cohomologie d’un faisceau d’hyperformes. Les méthodes et résultats ont été présentés dans une note précédente [C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I 300, 43-45 (1985; Zbl 0584.32017)].
Reviewer: P.Mazet

MSC:

32C30 Integration on analytic sets and spaces, currents
32C35 Analytic sheaves and cohomology groups
58A10 Differential forms in global analysis
53C55 Global differential geometry of Hermitian and Kählerian manifolds
32Q99 Complex manifolds
14F10 Differentials and other special sheaves; D-modules; Bernstein-Sato ideals and polynomials