×

Algébricité, monadicité, esquissabilité et non-algébricité. (Algebraicity, monadicity, sketchability and non-algebraicity). (French) Zbl 0594.18006

Diagrammes 13, 112 p. (1985).
Ce travail utilise une théorie générale de l’algébricité d’une catégorie, décrite comme suit. Une syntaxe d’algèbre sur une catégorie \({\mathcal C}\) est un couple (\({\mathcal B},J)\) constitué d’un sous-graphe multiplicatif \({\mathcal B}\) de \({\mathcal C}\) et d’un foncteur \(J: {\mathcal B}\to {\mathcal D}\) bijectif sur les objets. Une algèbre pour cette syntaxe est un couple (C,F) consitué d’un objet C de \({\mathcal C}\) et d’un foncteur \(F: {\mathcal D}^{op}\to {\mathcal E}ns\) tel que F \(J^{op}\) soit restriction du foncteur \(Hom_{{\mathcal C}}(-,C)\). Un homomorphisme (C,F)\(\to (C',F')\) est un morphisme \(f: C\to C'\) de \({\mathcal C}\) tel que \(Hom_{{\mathcal C}}(-,f)\) induise une transformation naturelle \(F\to F'\). On obtient ainsi la catégorie des algèbres de la syntaxe, avec un foncteur oubli à valeurs dans \({\mathcal C}\). Les catégories au-dessus de \({\mathcal C}\) isomorphes aux précédentes sont les catégories algébriques sur \({\mathcal C}.\)
Une étude complète de l’adjonction entre la syntaxe et la semantique est présentée. La notion d’algébricité est comparée avec la notion de monadicité et celle d’esquissabilité. Par exemple, pour un foncteur \(U: {\mathcal A}\to {\mathcal C}\) dont le codomaine est une catégorie localement \(\alpha\)-présentable, les 3 propriétés suivantes sont montrées équivalentes: (1) U est \(\alpha\)-algébrique (i.e. les objets de \({\mathcal B}\) dans la syntaxe sont \(\alpha\)-présentables dans \({\mathcal C})\); (2) U est \(\alpha\)-monadique; (3) U est \(\alpha\)-sur- esquissable.
Il est donné des conditions suffisantes pour que le composé de deux foncteurs algébriques soit algébrique. Les résulats sont appliqués aux deux cas particuliers: \({\mathcal C}={\mathcal C}at\), \({\mathcal C}={\mathcal G}raph\). Par exemple, la catégorie des petites catégories munies d’un choix d’extensions de Kan, inductives et/ou projectives, le long d’un ensemble donné de foncteurs, est algébrique sur \({\mathcal C}at\); la catégorie des petites catégories munies d’un choix de produits (resp. sommes, noyaux, conoyaux, \(\lim_{\leftarrow}\), \(\lim_{\to})\) finis est \(\aleph_ 0\)-algébrique sur \({\mathcal C}at\); la catégorie des petites catégories munies d’un choix de noyaux et/ou conoyaux, isotropes, est algébrique sur \({\mathcal G}raph\); la catégorie des petites catégories de Peano n’est pas algébrique sur \({\mathcal G}raph\).
Reviewer: Y.Diers

MSC:

18C10 Theories (e.g., algebraic theories), structure, and semantics
18A10 Graphs, diagram schemes, precategories
18C15 Monads (= standard construction, triple or triad), algebras for monads, homology and derived functors for monads
18A40 Adjoint functors (universal constructions, reflective subcategories, Kan extensions, etc.)
Full Text: EuDML