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Sur l’involution de Zelevinski. (On the Zelevinskij involution). (French) Zbl 0594.22008
Dans (1) [Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., IV. Sér. 13, 165-210 (1980; Zbl 0441.22014)], A. V. Zelevinskij construit une involution, notée \(\tau\), du groupe de Grothendieck associé à la catégorie des représentations lisses et de longueur finie de GL(N,F), où F est un corps local non archimédien. J. N. Bernstein annonce [Lect. Notes Math. 1041, 50-102 (1984; Zbl 0541.22009), p. 94], que cette involution permute les classes des représentations irréductibles. Nous admettrons cette propriété. En (2) [Funct. Anal. Appl. 15, 83-92 (1981; Zbl 0476.22014)], A. V. Zelevinskij propose une formule pour décrire \(\tau\) à l’aide des objets paramétrisant les représentations irréductibles de GL(N,F). C’est cette conjecture que nous démontrons.
Plus précisément, en (2), Zelevinskij introduit, étant donné un ensemble fini \({\mathcal F}\) de représentations cuspidales, un espace vectoriel complexe, noté V, ayant une base indexée par les éléments de \({\mathcal F}\) et muni d’une graduation, telle que les orbites du groupe des automorphismes de V, respectant la graduation, notée A(V), dans l’ensemble des endomorphismes nilpotents de V de degré 1, noté E(V), paramétrise l’ensemble des représentations irréductibles de GL(N,F) ayant \({\mathcal F}\) comme support (au sens de (1), 1.10).
Il montre aussi que l’espace vectoriel dual de E(V) est l’ensemble des endomorphismes nilpotents de degré -1, noté \(E(V)^-\), et que les A(V)-orbites dans \(E(V)^-\) paramétrisent aussi les représentations irréductibles de GL(N,F) ayant \({\mathcal F}\) comme support. De pluis il décrit une application de l’ensemble des A(V)-orbites de E(V) dans celui des A(V)-orbites des \(E(V)^-:\) soient \({\mathcal O}\) une A(V)-orbite de E(V) et f un point de \({\mathcal O}\); alors il existe une unique A(V)- orbite de \(E(V)^-\) coupant le sous-espace vectoriel de \(E(V)^-\) ensemble des éléments commutant à f suivant un ouvert dense; on la note \({\mathcal O}^{\#}\) et \({\mathcal O}^{\#}\) est indépendent du point f choisi dans \({\mathcal O}\). La conjecture de Zelevinskij s’exprime alors de la façon suivante.
Conjecture. Soient V une représentation irréductible de GL(N,F), et \({\mathcal O}\) la A(V)-orbite de E(V) paramétrisant V, alors \({\mathcal O}^{\#}\) est la A(V)-orbite de \(E(V)^-\) paramétrisant \(\tau\) (V).

MSC:
22E50 Representations of Lie and linear algebraic groups over local fields
20G25 Linear algebraic groups over local fields and their integers
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Full Text: Crelle EuDML