Uniqueness and approximation of solutions of first order nonlinear equations. (English) Zbl 0594.35018

Metivier, Guy

Invent. Math. 82, 263-282 (1985).

Soit \(\Omega =]0,T[\times \omega\), où \(\omega\) est un voisinage ouvert de 0 dans \({\mathbb{R}}^ N\), l’A. montre que toute solution de classe \(C^ 2\) du problème \[ (1)\quad \partial u/\partial t=F(t,x,u,\nabla u),\quad u(0,x)=\phi (u) \] est unique dans un voisinage de \(0\subset {\bar \Omega}\) (théorème 1.1.1). L’unicité dépend de l’approximation de u par une suite \(u_{\lambda}\in C^ 2(\Omega_ 0)\), où les \(u_{\lambda}\) sont solutions du problème (1) par une donnée initiale \(\phi_{\lambda}\) analytique, les \(u_{\lambda}\) étant également solution d’une équation implicite (lemme 2.3.1). Il faut de plus montrer que les \(u_{\lambda}\) sont définies sur un même voisinage \(\Omega_ 0\) de 0 (paragraphe 4).

Reviewer: M.-T.Lacroix

MSC:

35F20	Nonlinear first-order PDEs
35A35	Theoretical approximation in context of PDEs
35A05	General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)

Keywords:

nonlinear first order analytic partial differential equations; uniqueness of \(C^ 2\) complex valued solutions; noncharacteristic; Cauchy problem; Hamiltonian field of the equation

References:

[1]	Baouendi, S., Goulaouic, C., Treves, F.: Uniqueness in certain first order nonlinear complex Cauchy problems. Comment. Pure Appl. Math.38, 109-123 (1985) · Zbl 0609.35019 · doi:10.1002/cpa.3160380106
[2]	Baouendi, S., Rothschild, L.: Analytic Approximation for homogeneous solutions of invariant differential operators on Lie groups. Colloq. Schwartz, Asterisque, S.M.F. (to appear) · Zbl 0597.58048
[3]	Baouendi, S., Treves, F.: A property of the functions and distributions annihilated by a locally integrable system of complex vector fields. Ann. Math.113, 341-421 (1981) · Zbl 0491.35036 · doi:10.2307/2006990
[4]	Baouendi, S., Treves, F.: Approximation of solutions of linear P.D.E. with analytic coefficients. Duke, Math. J.50, 285-301 (1983) · Zbl 0552.35009 · doi:10.1215/S0012-7094-83-05013-5
[5]	Caratheodory, C.: Calculus of variations, and partial differential equations of the first order. San Francisco: Holden Day 1965
[6]	Friedrichs, K.: The identity of weak and strong extension of differential operators. Trans. Am. Math. Soc.55, 132-155 (1944) · Zbl 0061.26201
[7]	Holmgren, E.: Über Systeme von linearen partialen Differentialgleichungen. Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akad Foh58, 91-105 (1901)
[8]	Malgrange, B.: Existence et approximation des solutions des équations aux dérivees partielles et des équations de convolution. Ann. Inst. Fourier Grenoble6, 271-355 (1955-56)