Cohomologie, L-groupes et fonctorialité. (Cohomology, L-groups and functoriality). (French) Zbl 0595.12004

Labesse, J. P.

Compos. Math. 55, 163-184 (1985).

Soit F un corps local, G un groupe réductif connexe sur F. R. P. Langlands a conjecturé que les (L-paquets de) représentations admissibles irreductibles de G(F) sont paramétrées par des homomorphismes, dits admissibles, du groupe de Weil \(W_ F\) dans le L- groupe \({}^ LG\) associé à G. Langlands a prouvé ce résultat dans le cas archimédien, et, dans le cas non-archimédien, quand G est un tore; quand G est un tore T, il a aussi prouvé une version globale, classifiant les représentations automorphes du groupe des points adéliques de T [R. P. Langlands, Representations of abelian algebraic groups. Preprint, Yale Univ. (1968)].
Le présent article donne une démonstration nouvelle de ces résultats concernant les tores, utilisant la cohomologie plutôt que l’homologie. Cela nécessité d’examiner les proprietés de la cohomologie continue de modules sur le groupe de Weil, en particulier d’étudie à ce cas la suite exacte de Hochschild-Serre. Les techniques ainsi développée permettent à l’A. de prouver le résultat suivant, valable dans le cas local et le cas global: si \(\tilde G\) est un autre groupe réductif connexe sur F et qu’on se donne un morphisme de L-groupes \({}^ L\tilde G\to^ LG\), surjectif et de noyau un tore central de \({}^ L\tilde G^ 0\), tout homomorphisme admissible de \(W_ F\) dans \({}^ LG\) se relève en un homomorphisme admissible de \(W_ F\) dans \({}^ L\tilde G\). Ce résultat peut se traduire en termes du principe de fonctorialité pouva les groupes G et \(\tilde G\) et poura servir dans l’étudé de l’endescopie.

Reviewer: G.Henniart

MSC:

11R39	Langlands-Weil conjectures, nonabelian class field theory
11S37	Langlands-Weil conjectures, nonabelian class field theory
22E55	Representations of Lie and linear algebraic groups over global fields and adèle rings
11F70	Representation-theoretic methods; automorphic representations over local and global fields
18G40	Spectral sequences, hypercohomology

Keywords:

L-groups; cohomology; L-packets; local field; connected reductive; group; irreducible representations; automorphic representations; Weil group; adelic points of torus; Hochschild-Serre exact; sequence; endoscopic groups

References:

[1]	A. Borel : Automorphic L-functions . Proc. Symp. Pure Math. Vol. 33 (1979). AMS ”Corvallis”. · Zbl 0412.10017
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[3]	H. Cartan and S. Eilenberg : Homological Algebra . Princeton University Press (1956). · Zbl 0075.24305
[4]	G. Henniart : Representations du groupe de Weil d’un corps local . L’enseignement Math. 26 (1980) 155-172. · Zbl 0452.12006
[5]	R. Kottwitz : Stable Trace formula: Cuspidal Tempered terms . Preprint. · Zbl 0576.22020 · doi:10.1215/S0012-7094-84-05129-9
[6]	R.P. Langlands : Representations of abelian algebraic groups . Preprint, Yale Univ. (1968). · Zbl 0910.11045
[7]	R.P. Langlands : On the classification of irreducible representations of real algebraic groups . Preprint. · Zbl 0741.22009
[8]	R.P. Langlands : Stable conjugary: definitions and lemma Can. J. Math. 31 (4) (1979) 700-725. · Zbl 0421.12013 · doi:10.4153/CJM-1979-069-2
[9]	S. Lang : Rapport sur la Cohomologie des Groupes . Benjamin (1966). · Zbl 0171.28903
[10]	J.-P. Serre : Corps Locaux . Hermann (1962). · Zbl 0137.02601
[11]	D. Shelstad : Twisted endoscopic groups in the abelian case . Preprint. · Zbl 0488.22033
[12]	A. Weil : Exercices dyadiques . Inv. Math. 27 (1974) 1-22. · Zbl 0307.12017 · doi:10.1007/BF01389962