Local fields. (English) Zbl 0595.12006

Cassels, J. W. S.

London Mathematical Society Student Texts, 3. Cambridge etc.: Cambridge University Press. XIV, 360 p. hbk: £27.50; $ 49.50; pbk: £9.95; $ 16.95 (1986).

Das vorliegende Buch bietet neben einer systematischen Theorie der \({\mathfrak p}\)-adischen Zahlkörper auf elementarem Niveau und deren Standardanwendungen in der Theorie der algebraischen Zahlkörper eine Einführung in die Verwendung p-adischer Methoden zur Behandlung verschiedenartiger zahlentheoretischer Probleme (diophantische Gleichungen, Bernoulli-Zahlen, rekurrente Folgen, Potenzreihen algebraischer Funktionen), und es ist vor allem dieser letztere Aspekt, welcher den besonderen Reiz des Buches ausmacht. Vom Leser werden lediglich algebraische und zahlentheoretische Grundkenntnisse (wie sie in jeder ersten Einführungsvorlesung geboten werden) vorausgesetzt. Unter den zahlreichen Übungsaufgaben, welche jedes Kapitel des Buches beschließen, finden sich neben pädagogisch klug ausgewählten Standardbeispielen etliche auch für den Experten interessante zusätzliche Resultate und neue Beweisvarianten bekannter Sachverhalte.
Nun zum Inhalt der 13 Kapitel im einzelnen! Ch. 1, 2: Definition der Bewertung, einführende Beispiele, schwacher Approximationssatz, Komplettierung; als Anwendung der Satz von Staudt-Clausen und das Eisenstein-Kriterium für die Rationalität von Potenzreihen. Ch. 3: Archimedische Bewertungen, Satz von Ostrowski. Ch. 4: Nicht-archimedische Bewertungen: Henselsches Lemma, Nullstellen von Potenzreihen; Anwendungen auf rationale Matrizengruppen, diophantische Gleichungen (u.a. \(x^ 2- 17=2y^ 2\), \(x^ 2+7=2^ m)\) und spezielle Werte rekurrenter Folgen. Ch. 5: Einbettung endlich erzeugter Körper in \({\mathbb{Q}}_ p\) (Lech- Cassels); Satz von Mahler und Lech über rekurrente Folgen in Körpern der Charakteristik 0.
Ch. 6: Polynome über kompletten Körpern, Newton-Polygon, Weierstraßscher Vorbereitungssatz. Ch. 7, 8, 9: Klassische Theorie der Bewertungsfortsetzung im kompletten und im nicht-kompletten Fall; Beweis des ”lokalen” Satzes von Kronecker-Weber und des quadratischen Reziprozitätsgesetzes; interessante Übungsaufgaben mit Jacobischen Summen. Ch. 10: Algebraische Zahlkörper; Idealtheorie, Endlichkeitssätze, ”Kronecker-Weber”; Anwendung auf diophantische Gleichungen (u.a. \(3x^ 3+4y^ 3+5z^ 3=0\), \(x^ 2+2=y^ 3\), \(x^ 3+dy^ 3=1)\). Ch. 11: Diophantische Gleichungen: Hasse-Prinzip für quadratische Formen über \({\mathbb{Q}}\), Kurven vom Geschlecht 0, ausführliche Diskussion von \(x^ 3+y^ 3+dz^ 3=0\) (Selmergruppe etc.). Ch. 12: Konstruktion p-adischer L-Funktionen mittels p-adischem Integral. Ch. 13: Beweis des \({\mathfrak p}\)-adischen Kriteriums von Borel und Dwork für die Rationalität von Potenzreihen.

Reviewer: F.Halter-Koch

MSC:

12-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory
11-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11Sxx	Algebraic number theory: local fields
14-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to algebraic geometry
11Rxx	Algebraic number theory: global fields
11Axx	Elementary number theory
11Dxx	Diophantine equations

Keywords:

local fields; p-adic number fields; diophantine equations; Bernoulli numbers; recurrent series; power series of algebraic; functions; Weierstrass preparation theorem; Newton polygon; Kronecker-Weber theorem; Jacobi sums; Hasse principle; Selmer; group; p-adic L-functions; rationality of power series