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On \(\ell\)-adic representations attached to modular forms. II. (English) Zbl 0596.10027
[Part I, cf. Invent. Math. 28, 245-275 (1975; Zbl 0302.10027).]
Sei \(f=\sum^{\infty}_{n=1}a_ nq^ n\) eine Neuform vom Gewicht \(k\) auf \(\Gamma_ 1(N)\), sei \(E = {\mathbb{Q}}(\{a_ n\})\) der zugehörige Zahlkörper mit Ganzheitsring \(O\) und sei \(O_{\ell} = O\otimes_{{\mathbb{Z}}} {\mathbb{Z}}_{\ell}\) und \(E_{\ell} = E\otimes_{{\mathbb{Q}}} {\mathbb{Q}}_{\ell}\). Nach Deligne und Serre ist \(f\) eine stetige Darstellung \[ \rho_{\ell}: G({\bar {\mathbb{Q}}}/{\mathbb{Q}})\to Gl(2,O_{\ell})\subset Gl(2,E_{\ell}) \] zugeordnet. Sei \(G_{\ell} = \rho_{\ell}(G({\bar {\mathbb{Q}}}/{\mathbb{Q}}))\) und \({\mathfrak g}_{\ell} = \text{Lie}(G_{\ell})\). Ziel ist es, \(G_{\ell}\) und \({\mathfrak g}_{\ell}\) zu beschreiben. Dazu kann man voraussetzen, daß \(k>1\) und f ohne komplexe Multiplikation ist [vgl. Verf., Lect. Notes Math. 601, 17-52 (1977; Zbl 0363.10015)].
Für \(N=1\) und \(K = {\mathbb{Q}}\) haben Serre und Swinnerton-Dyer erhalten, daß für alle \(\ell\) \(G_{\ell}\) offen in \(Gl(2,{\mathbb{Z}}_{\ell})\) ist und für fast alle \(\ell\) gilt: \(G_{\ell} = \{M\in Gl(2,{\mathbb{Z}}/\ell);\quad \text{Det}(M)\in {\mathbb{Z}}_{\ell}^{*(k-1)}\}\) [vgl. H. P. F. Swinnerton-Dyer, Lect. Notes Math. 350, 1-55 (1973; Zbl 0267.10032)]. Diese Ergebnisse werden vom Verf. (loc. cit.) und von F. Momose [J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. I A 33, 441-466 (1986; Zbl 0621.14018)] verallgemeinert; bei der Beschreibung von \(G_{\ell}\) war aber \(k=2\) notwendig.
Um zum allgemeinen Ergebnis zu kommen, ist eine gute Kenntnis des Verhaltens von \(\rho_ 1\) in Primzahlen \(p\neq 1\), die N teilen, notwendig. Diese wird durch Deligne und Langlands in den meisten Fällen geliefert, im allgemeinen Fall aber erst durch die Arbeit von H. Carayol [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 296, 629-632 (1983; Zbl 0537.10018)] bereitgestellt. Dies ergibt Theorem 1.1 der vorliegenden Arbeit.
Das nächste Resultat (Theorem 2.1) beschreibt das Verhalten von \(\rho_{\ell}\) nach Reduktion, und im dritten Abschnitt werden Resultate von Momose (loc. cit.) dargestellt und schließlich in Theorem 3.1 das Bild einer gewissen Untergruppe \(H\) von \(G({\bar {\mathbb{Q}}}/{\mathbb{Q}})\) unter \(\rho_{\ell}\) für fast alle \(\ell\) genau beschrieben. Ein Ergebnis von E. Papier (Theorem 4.1) beschreibt schließlich, wie man damit \(\rho_{\ell}(G({\bar {\mathbb{Q}}}/{\mathbb{Q}})\) (für fast alle \(\ell\)) bekommt.
Reviewer: G.Frey

MSC:
11F70 Representation-theoretic methods; automorphic representations over local and global fields
11F80 Galois representations
11R32 Galois theory
11F11 Holomorphic modular forms of integral weight
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References:
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