Ribet, Kenneth A. On \(\ell\)-adic representations attached to modular forms. II. (English) Zbl 0596.10027 Glasg. Math. J. 27, 185-194 (1985). [Part I, cf. Invent. Math. 28, 245-275 (1975; Zbl 0302.10027).] Sei \(f=\sum^{\infty}_{n=1}a_ nq^ n\) eine Neuform vom Gewicht \(k\) auf \(\Gamma_ 1(N)\), sei \(E = {\mathbb{Q}}(\{a_ n\})\) der zugehörige Zahlkörper mit Ganzheitsring \(O\) und sei \(O_{\ell} = O\otimes_{{\mathbb{Z}}} {\mathbb{Z}}_{\ell}\) und \(E_{\ell} = E\otimes_{{\mathbb{Q}}} {\mathbb{Q}}_{\ell}\). Nach Deligne und Serre ist \(f\) eine stetige Darstellung \[ \rho_{\ell}: G({\bar {\mathbb{Q}}}/{\mathbb{Q}})\to Gl(2,O_{\ell})\subset Gl(2,E_{\ell}) \] zugeordnet. Sei \(G_{\ell} = \rho_{\ell}(G({\bar {\mathbb{Q}}}/{\mathbb{Q}}))\) und \({\mathfrak g}_{\ell} = \text{Lie}(G_{\ell})\). Ziel ist es, \(G_{\ell}\) und \({\mathfrak g}_{\ell}\) zu beschreiben. Dazu kann man voraussetzen, daß \(k>1\) und f ohne komplexe Multiplikation ist [vgl. Verf., Lect. Notes Math. 601, 17-52 (1977; Zbl 0363.10015)]. Für \(N=1\) und \(K = {\mathbb{Q}}\) haben Serre und Swinnerton-Dyer erhalten, daß für alle \(\ell\) \(G_{\ell}\) offen in \(Gl(2,{\mathbb{Z}}_{\ell})\) ist und für fast alle \(\ell\) gilt: \(G_{\ell} = \{M\in Gl(2,{\mathbb{Z}}/\ell);\quad \text{Det}(M)\in {\mathbb{Z}}_{\ell}^{*(k-1)}\}\) [vgl. H. P. F. Swinnerton-Dyer, Lect. Notes Math. 350, 1-55 (1973; Zbl 0267.10032)]. Diese Ergebnisse werden vom Verf. (loc. cit.) und von F. Momose [J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. I A 33, 441-466 (1986; Zbl 0621.14018)] verallgemeinert; bei der Beschreibung von \(G_{\ell}\) war aber \(k=2\) notwendig. Um zum allgemeinen Ergebnis zu kommen, ist eine gute Kenntnis des Verhaltens von \(\rho_ 1\) in Primzahlen \(p\neq 1\), die N teilen, notwendig. Diese wird durch Deligne und Langlands in den meisten Fällen geliefert, im allgemeinen Fall aber erst durch die Arbeit von H. Carayol [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 296, 629-632 (1983; Zbl 0537.10018)] bereitgestellt. Dies ergibt Theorem 1.1 der vorliegenden Arbeit. Das nächste Resultat (Theorem 2.1) beschreibt das Verhalten von \(\rho_{\ell}\) nach Reduktion, und im dritten Abschnitt werden Resultate von Momose (loc. cit.) dargestellt und schließlich in Theorem 3.1 das Bild einer gewissen Untergruppe \(H\) von \(G({\bar {\mathbb{Q}}}/{\mathbb{Q}})\) unter \(\rho_{\ell}\) für fast alle \(\ell\) genau beschrieben. Ein Ergebnis von E. Papier (Theorem 4.1) beschreibt schließlich, wie man damit \(\rho_{\ell}(G({\bar {\mathbb{Q}}}/{\mathbb{Q}})\) (für fast alle \(\ell\)) bekommt. Reviewer: G.Frey Cited in 5 ReviewsCited in 76 Documents MSC: 11F70 Representation-theoretic methods; automorphic representations over local and global fields 11F80 Galois representations 11R32 Galois theory 11F11 Holomorphic modular forms of integral weight Keywords:newform; \(\ell\)-adic representations; modular forms; Galois group Citations:Zbl 0302.10027; Zbl 0363.10015; Zbl 0267.10032; Zbl 0537.10018; Zbl 0621.14018 × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: DOI References: [1] DOI: 10.1007/BFb0058810 · doi:10.1007/BFb0058810 [2] Deligne, Lecture Notes in Math. 349 pp 55– (1973) [3] Carayol, C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 296 pp 557– (1983) [4] Tate, Automorphic forms, representations and L-functions, Proc. Symp. Pure Math. 33 pp 3– (1979) · doi:10.1090/pspum/033.2/546607 [5] Swinnerton-Dyer, Lecture Notes in Math. 350 pp 1– (1973) [6] DOI: 10.1007/BF01405086 · Zbl 0235.14012 · doi:10.1007/BF01405086 [7] DOI: 10.1007/BFb0069289 · doi:10.1007/BFb0069289 [8] DOI: 10.1007/BF01388529 · Zbl 0523.12009 · doi:10.1007/BF01388529 [9] Ribet, Lecture Notes in Math. 601 pp 17– (1977) [10] DOI: 10.1007/BF01425561 · Zbl 0302.10027 · doi:10.1007/BF01425561 [11] DOI: 10.2307/1971151 · Zbl 0469.22013 · doi:10.2307/1971151 [12] Langlands, Lecture Notes in Math. 349 pp 361– (1973) [13] Gorenstein, Finite Groups (1968) [14] Deligne, Ann. Sci. École Norm. Sup. 7 pp 507– (1974) [15] Deligne, L, Lecture Notes in Math. 349 pp 501– (1973) [16] Carayol, C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I. Math. 296 pp 629– (1983) This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.